Primero empiezo con un lema:
Deje $f,g \in F[t]$ ser entre dos polinómios coprimos. Deje $P_n \in F[t]$ ser
polinomios de grado estrictamente por debajo de $m = \max(\deg(f), \deg(g))$. Si
$$ \sum_{n=0}^N P_n f^n g^{N-n} = 0 $$ for some integer $$ N, entonces todos los
$P_n$ son cero.
De hecho, uno puede asumir que los $\deg(g) = m$. A continuación, $g$ divide $\sum_{n=0}^{N-1} P_n f^n g^{N-n}$, de ahí que también se divide $P_N f^N$. Por coprimality, $g$ divide $P_N$, lo que muestra que $P_N$ es cero por la condición en grados. De ello se desprende que $\sum_{n=0}^{N-1} P_n f^n g^{(N-1)-n}$ = 0 y uno argumenta el descenso infinito.
Ahora tome $y = \frac{f(x)}{g(x)}$, $f$ $g$ coprime en $F[t]$. Queremos demostrar que el polinomio mínimo de a $x$ $F(y)$ es de grado $m = \max(\deg(f), \deg(g))$. Deje $p$ ser un polinomio en $F(y)[t]$, de tal manera que $p(x) = 0$. Escribir $p(t) = \sum_{k=0}^r a_k t^k$, $a_k \in F(y)$ y supongamos que $r < m$. Podemos escribir $a_k = \frac{P_{k}(y)}{Q_{k}(y)}$,$P_{k}, Q_{k} \in F[t]$. Así que tenemos una igualdad de la forma
$$
\sum_{k=0}^r \frac{P_{k}(y)}{Q_{k}(y)} x^k = 0.
$$
Por lo tanto, obtener
$$
\sum_{k=0}^r P_{k}(y) \prod_{k' \neq k} Q_{k} (y) x^k = 0, $$
que podemos reescribir como
$$
\sum_{k=0}^r \widetilde{P_{k}(y)} x^k = 0,
$$
con $\widetilde{P_{k}} =: \sum_l a_{kl} t^l \in F[t]$.
Entonces
$$
\sum_{k=0}^r \sum_l a_{kl} \frac{f(x)^l}{g(x)^l} x^k = 0.
$$
Multiplicamos por $g(x)^L$ grandes $L$ (que es $L$ es mayor que todos los $l$ que $a_{kl}$ no es cero) y obtener
$$
\sum_{k=0}^r \sum_l a_{kl} f(x)^l g(x)^{L - l} x^k = 0,
$$
que podemos reescribir como
$$
\sum_{l} (\sum_{k= 0}^r a_{kl} x^k) f(x)^l g(x)^{L-l} = 0.
$$
Por el lema (y la transcendentality de $x$), todos los $a_{kl}$ son cero. Por lo tanto $\widetilde{P_{k}}$ es cero, y esto demuestra que $a_k$ es cero. Por lo tanto, $p$ sí mismo es cero, lo que concluye la prueba.
