Puede $2^{M^N}+M^{N^2}$ donde $M$ $N$ son impares, números primos, nunca ser un primo?

Question

P: Es el número de la forma $$\displaystyle 2^{M^N}+M^{N^2}$$ always composite for $M,N$ impares, números primos?

He observado que:

• Si $M=N$ entonces este número es absolutamente un compuesto, porque satisface la identidad de $a+b \mid a^k+b^k$ si k es impar.

• Si $M \equiv 1 \pmod 3$ entonces este número siempre es compuesto, porque es divisible por $3$.

  Veo que $2^{2c+1} \pmod 3=2$ para todos los números naturales $c$, e $p^t \pmod 3=1$ si $p$ es un alojamiento de tipo $1 \pmod 3$, entonces es claro que $2^{M^N}+M^{N^2}$ divisible por $3$ si $M$ primer número de tipo de $1 \pmod 3$.

• He comprobado de forma exhaustiva, y siempre me pareció compuestos.

Answer 1

No hay ninguna razón que no hay números primos de la forma 2^M^N+M^N^2 con M,N impares, números primos, porque qué pasa si M=2(mod 3)?. He comprobado los números de esa forma, y me encontré con los primeros 3 números con estado desconocido,y que son 2^149^3+149^3^2, 2^191^3+191^3^2, y 2^29^5+29^5^2. Estos números no tienen factores primos hasta 10^20.