Cuando se trata de un local de asignación de contracción contracción a nivel mundial.

Question

Deje $A$ ser un espacio métrico y $T:A\rightarrow A$ es un continuo operador. Existe alguna $\Delta$ tal que para $\forall x,y\in A$$d(x,y)<\Delta$, hay algunos $\epsilon <1$ s.t. $d(Tx,Ty)\le \epsilon d(x,y)$.

Esto es lo que quiero decir por "locales de la contracción" de la propiedad y me pregunto cuando es $T$ es una contracción mundial.

Mi conjetura es que cuando $T$ es un "uniforme de local contracción", es decir, el $\Delta$ $\epsilon$ son idénticos para todos los $x,y$. Luego de elegido de forma arbitraria $x$ $y$ siempre podemos encontrar algunos puntos entre ellos en $A$, y la distancia entre cada uno de esos puntos están a menos de $\Delta$, después de aplicar la desigualdad de triángulo da la contracción mundial de resultado.

No estoy seguro de si esto es un resultado o si hay algunas trampas que ser conscientes de.

Gracias!

Específicamente, estoy interesado en el punto fijo de la propiedad sobre la contracción de las asignaciones. He leído el documento de Observaciones sobre la métrica transforma y teoremas de punto fijo que da el resultado si cualquiera de los dos puntos en $A$ puede ser acompañado por un subsanables en la curva, a continuación, un local contracción actúa como una contracción mundial en la obtención de puntos fijos. Sin embargo, el espacio de $A$ estoy trabajando es en un espacio funcional y estoy aproximada acerca de la "subsanables en la curva de" concepto y parece que sólo se necesita un resultado más débil que el de este.

Answer 1

Incluso estando conectado por subsanables en curvas no es suficiente para conseguir la contracción mundial de local. Considere el siguiente mapa, que refleja la parte superior de la línea de segmento a la derecha:

Pequeñas distancias no están aumentado, pero la $|A'D'|>|AD|$. Para obtener un contraejemplo en su entorno, reducir el tamaño de UN B'C'D' un poco.

Una condición suficiente es el espacio de una longitud de espacio, que es: para cada $a,b$ la distancia $d(x,y)$ es el infimum de las longitudes de los subsanables curvas de conectar $a$$b$. De hecho, si $\gamma$ es una curva de longitud $\ell$, $\epsilon$- local contracción de la asigna a una curva de longitud $\le \epsilon \ell$, y la conclusión de la siguiente manera.