Asociar un $m-1$ -tensor en $\mathbb R^m$ a un elemento de $\mathbb R^m$ .

Question

Demuestre que para toda alternancia $m-1$ -tensor en $\mathbb R^m$ allí existe un único $v \in \mathbb R^m$ tal que para cada lineal de $\mathbb R^m$ en $\mathbb R$ y para cada $v_1, \dots, v_m \in \mathbb R^m$ , $(\omega \wedge f)(v_1, \dots, v_m)=f(v)\det(v_1, \dots, v_m)$ .

He reducido el problema a lo siguiente:

Demuestre que para toda alternancia $m-1$ -tensor en $\mathbb R^m$ allí existe un único $v \in \mathbb R^m$ tal que para cada lineal de $\mathbb R^m$ en $\mathbb R$ , $(\omega \wedge f)(e_1, \dots, e_m)=f(v)$ .

Lo he conseguido, pero mi prueba era muy fea (calculé el lado izquierdo usando la definición del producto cuña, usando la función Alt). Me gustaría saber si hay una manera mejor de lograrlo.

Editar:

Es muy sencillo demostrar este resultado si hay una manera fácil de demostrar que $(\phi_1\wedge\dots\wedge \phi_{k-1}\wedge \phi_{k+1}\wedge \dots \wedge\phi_m\wedge f)(e_1, \dots, e_m)=f(e_k)$ donde el $\phi_i(e_j)=\delta_{ij}$ . ¿Existe una forma elegante de mostrar esto?

Answer 1

La singularidad de $v$ (si existe) es fácil, por lo que la función $$v \mapsto [(v_1,...,v_m,f) \mapsto f(v) \mathrm{det}(v_1,...,v_m)]$$ es inyectiva. Hay que demostrar que el espacio de funciones de esta forma sobre $(\mathbb{R}^m)^m \times (\mathbb{R}^m)^*$ (alternando en el $m$ vectores y lineal en el funcional) es también $m$ -dimensional.