problema en la función continua y diferenciable

Question

$f$ es continua en a $[0,\infty)$ y diferenciable en a $(0,\infty)$ $f(0) \geq 0$ $f^\prime(x) \geq f(x)$ para mostrar $f(x)\geq 0 \forall x \in (0,\infty)$

mi respuesta: si $\exists x_0 \in (0,\infty)$ s.t. $f(x_0)<0$ $\frac{f(x_0)-f(0)}{x_0} = f^\prime(a_1) \leq 0$ ahora $a_1 \in (0,x_0) $

$\frac{f(a_1)-f(0)}{a_1}=f^\prime(a_2) \leq 0$

continuando de esta manera obtenemos una secuencia $(a_i) \rightarrow 0$ s.t.$f^\prime(a_i)\leq 0 \leq f(a_i)$ que es una contradicción

es esto correcto o no?

Answer 1

$f$ satisface la educación a distancia $$u'(x) = u(x) + g(x)$$ con las condiciones iniciales $u(0) = f(0)$, y donde $g(x) = f'(x)-f(x) \geq 0.$

Esta ODA tiene una solución $$u(x) = f(0)e^x + e^x\int_0^x e^{-y}g(y)\,dy$$ que es claramente positiva en todas partes. La singularidad no es inmediata desde $g(x)$ no es necesariamente continua, pero desde $0$ es la solución única para la educación a distancia $$(f-u)' = (f-u)$$ con las condiciones iniciales $(f-u)(0) = 0$, se deduce que el $f=u$.