Es cada delimitada secuencia convergente?

Question

Es cierto, que cada secuencia convergente es acotada, pero es cada delimitada secuencia convergente?

Answer 1

No. Por ejemplo, en la secuencia de $$a_n=\begin{cases} 0 & \text{ if }n\text{ is even}\\ 1 & \text{ if }n\text{ is odd} \end{casos}$$ Es limitada porque se mantiene dentro del intervalo de $[0,1]$, pero no tiene límite.

Intuitivamente, usted no debe esperar a que delimitadas $\implies$ convergente, porque incluso si los términos de una secuencia de permanecer en una cierta área en general, no significa que todos sus términos siempre debe estar cada vez más cerca y más cerca unos de otros (que es lo que la noción de Cauchy de la secuencia de captura; una secuencia en $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ es convergente $\iff$ es de Cauchy).

Sin embargo, como usuario amWhy señala en su respuesta, cada delimitada secuencia contiene una convergente larga; en otras palabras, podemos recoger algunos términos de la secuencia que está cada vez más cerca y más cerca unos de otros (incluso si no están acercando a todos los términos en la secuencia original).

Answer 2

Sugerencia: $\quad$Considerar la secuencia de $\{a_n\},\;a_n = (-1)^n\,$

Es limitada en $[-1, 1]\; ($ de hecho, $a_n \in \{-1, 1\}\; \forall a_n\in \{a_n\}),\;$ pero $\;\lim_{n\to \infty} (-1)^n\;$ no existe.

Nota: es cierto que cada delimitada secuencia contiene una convergente larga, y además, cada monótona secuencia converge si y sólo si es acotada.

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Agregó Ver la entrada en la Monotonía Teorema de Convergencia para obtener más información sobre la garantía de la convergencia de las delimitada la monotonía de las secuencias.

Answer 3

No. Tomar la secuencia de $a_n=i^n$ en el plano complejo. Es limitado, ya que está contenida en el círculo de la $|z|\leq \sqrt{2}$. Sin embargo no convergen desde sus términos alternativos dependiendo $n$ modulo 4.

Answer 4

No, hay muchas delimitada secuencias que no son convergentes, por ejemplo tomar una enumeración de $\mathbb Q\cap(0,1)$.

Pero cada delimitada secuencia contiene una convergente larga.

Answer 5

Deje $\{X_n\}$ ser una secuencia convergente convergente a $L$, correspondiente a$\epsilon=1$, $N_0\in \Bbb N$ tal que $|X_n-L|<1 \forall N\geqslant N_0$.