Posibles Duplicados:
Cómo probar que el número de 1!+2!+3!+...+n! nunca es cuadrado?Mostrar que $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^k i!$ nunca es un cuadrado perfecto para $k\ge4$
Pruebo $k!$ nunca es un cuadrado perfecto usando el Postulado de Bertrand. Pero esto parece ser una tarea cuesta arriba.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Su suma se parece a $$1!+2!+3!+4!+\cdots+k!=33+5!+\cdots+k!$$Now note that $yo!$ is a multiple of $10$ whenever, $i\geq 5$, hence the last digit in your summation is going to be a $3$. By inspection modulo $10$ (I want to look at the decimal place) $$0^2=0$$$$1^2=1$$$$2^2=4$$$$3^2=9$$$$4^2=6$$$$5^2=5$$$$6^2=6$$$$7^2=9$$$$8^2=4$$$$9^2=1$$Hence, it is impossible to have a $3$ en el extremo más a la derecha del dígito de un cuadrado, que su suma.
La siguiente es una aproximación de fuerza bruta. Podemos calcular la suma de $n=21$, y encontrar $$\sum_{k=1}^{21}k!=3^2\cdot 11\cdot 877\cdot3203\cdot41051\cdot4699727.$$
Desde $11^2$ divide $k!$ todos los $k\geq 22$, esto implica que $11$ divide la suma exactamente una vez para todos los $k\geq 21$, y, por tanto, la suma no es un cuadrado. Para $n\leq 21$, se puede comprobar por la computadora y aviso ninguno son cuadrados con la excepción de $n=3$