Demostrando que $\sum\limits_{i=1}^k i! \ne n^2$ cualquier $n$

Question

Posibles Duplicados:
Cómo probar que el número de 1!+2!+3!+...+n! nunca es cuadrado?

Mostrar que $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^k i!$ nunca es un cuadrado perfecto para $k\ge4$

Pruebo $k!$ nunca es un cuadrado perfecto usando el Postulado de Bertrand. Pero esto parece ser una tarea cuesta arriba.

Answer 1

Su suma se parece a $$1!+2!+3!+4!+\cdots+k!=33+5!+\cdots+k!$$ Now note that $yo!$ is a multiple of $10$ whenever, $i\geq 5$, hence the last digit in your summation is going to be a $3$. By inspection modulo $10$ (I want to look at the decimal place) $$0^2=0$$ $$1^2=1$$ $$2^2=4$$ $$3^2=9$$ $$4^2=6$$ $$5^2=5$$ $$6^2=6$$ $$7^2=9$$ $$8^2=4$$ $$9^2=1$$ Hence, it is impossible to have a $3$ en el extremo más a la derecha del dígito de un cuadrado, que su suma.

Answer 2

Su último dígito en $k=4\;:\; 1!+2!+3!+4!=33$ $3$ e de $5!$ en agregar números que terminan con $0$. De modo que nunca puede ser un número cuadrado, ya que los últimos dígitos de el cuadrado de cualquier número termina con $((\pm 1)^2,(\pm 2)^2,(\pm 3)^2,(\pm 4)^2,(\pm 5)^2)\mod 10=(0,1,4,9,6,5)$.

Answer 3

Sugerencia $\rm\ mod\ 5\!:\ \ \mathbb Z^2 \equiv \{0,\: \pm 1,\:\pm2\}^2 \equiv \{0,\: \pm 1\} \not\ni -2 \equiv 1!+2!+3!+4! + 5 N$

Answer 4

La siguiente es una aproximación de fuerza bruta. Podemos calcular la suma de $n=21$, y encontrar $$\sum_{k=1}^{21}k!=3^2\cdot 11\cdot 877\cdot3203\cdot41051\cdot4699727.$$

Desde $11^2$ divide $k!$ todos los $k\geq 22$, esto implica que $11$ divide la suma exactamente una vez para todos los $k\geq 21$, y, por tanto, la suma no es un cuadrado. Para $n\leq 21$, se puede comprobar por la computadora y aviso ninguno son cuadrados con la excepción de $n=3$