¿Fórmulas útiles de nivel inferior?

Question

Estoy buscando fórmulas matemáticas útiles de nivel inferior que sirvan para una variedad de problemas y ayuden en las competiciones de matemáticas de la escuela secundaria.

Algunas fórmulas que he encontrado muy útiles hasta ahora son

• Fórmulas de Vieta (Cuadráticas: $r_1+r_2=\frac{-b}a$ , $r_1r_2=\frac ca$ ) (Cúbicos: $r_1+r_2+r_3=\frac{-b}a, r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1=\frac ca, r_1r_2r_3=\frac{-d}a$
• Algoritmo euclidiano $\gcd(2322, 654)=\gcd(654,360), \;\gcd(654,360)=\gcd(360,294)...$
• Teorema del cordón $P=\frac 12((a_1b_2,\;a_2b_3\;...\;a_nb_1)-(b_1a_2,\;b_2a_3\;...\;b_na_1))$ donde $(a_1b_1),\;(a_2b_2)\;...\;(a_nb_n)$ son los puntos de un polígono ordenados en el sentido de las agujas del reloj y $P$ es el área del polígono
• Fórmula de la garza $A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ donde $A$ es un triángulo con longitudes de lado $a,\;b,$ y $c$ y $s$ es el semiperímetro, o $\dfrac{a+b+c}2$
• Teorema de Ptolomeo $ab+cd=ef$ cuando $a,\;b,\;c,$ y $d$ son las longitudes de los lados de un cuadrilátero cíclico y $e$ y $f$ son sus diagonales.
• El pequeño teorema de Fermat $a^{p-1}\equiv 1 \pmod p$ donde $a$ es un número entero, $p$ es un número primo, y $a$ no es divisible por $p$
• Fórmula de la mediana de un triángulo: En $\Delta ABC$ la longitud de la mediana al lado $BC$ es $\frac 12 \sqrt{2AB^2+2AC^2-BC^2}$
• Distancia de un punto a una línea: $ax + by + c = 0, \left(x_0, y_0\right) \implies D_{\text{min}} = \dfrac{\left|ax_0 + by_0 + c\right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
• Teorema de Stewart: Dado un triángulo $\triangle ABC$ con lados de longitud $a, b, c$ vértices opuestos $A$ , $B$ , $C$ respectivamente. Si cevian $AD$ se dibuja de manera que $BD = m$ , $DC = n$ y $AD = d$ tenemos que $b^2m + c^2n = amn + d^2a$ .
• Volumen de un tetraedro con lados perpendiculares $x,y,z$ : $\dfrac{xyz}6$

Answer 1

El problema de las torres de Hanoi.

Un rompecabezas con $n$ Discos de diferentes tamaños dispuestos de forma que los discos más pequeños vayan siempre encima de los más grandes.

Tenemos que mover los discos, de uno en uno, para que la torre se vuelva a montar en la clavija B o C. Al mover un disco sólo se nos permite poner un disco pequeño sobre otro más grande.

Queremos conocer el mínimo número de movimientos para conseguirlo.

Dejemos que $H(n)$ sea el número de movimientos con $n$ discos.

Por lo tanto, $H(1)=1$ .

Para un caso general, nos movemos $n-1$ discos para formar una torre en la clavija B. Así que necesitamos $H(n-1)$ A continuación, mueva los discos restantes en A a C, luego mueva los discos de B a los discos más grandes en C. Esto también requiere $H(n-1)$ se mueve.

$\therefore H(n) = 2H(n+1) +1$ , para $n \ge 2$ .