Si hay una rama de $\sqrt{z}$ sobre un conjunto abierto $U$$0 \notin U,$, entonces también hay una rama de la $arg$ $z.$

Question

Mostrar que si hay una rama de $\sqrt{z}$ sobre un conjunto abierto $U$$0 \notin U,$, entonces también hay una rama de la $arg$ $z.$

Soy incapaz de ir más allá en este y cualquier ayuda en este sentido, sería muy apreciado.

Answer 1

Una manera natural es probar la `evidente" el hecho de que si un conjunto abierto $U\subset\mathbb{C}$ contiene una curva cerrada $\gamma$ con sinuoso distinta de cero número de alrededor de $0$ $U$ contiene una curva cerrada $\gamma_1$ de la liquidación de número de $1$$0$. Para hacer esto, primero vamos a reemplazar $\gamma$ por un polígono cerrado. Después de algunos perturbación del polígono no tiene varios segmentos, sólo un número finito de auto-intersecciones. En la auto-intersecciones en el polígono puede ser dividido en un número finito de simplemente cerró los polígonos. A partir de la suma de la liquidación de los números de los pequeños polígonos, al menos uno de ellos ha sinuoso distinta de cero número. Pero, debido a Jordania del teorema de la curva de la liquidación número de un polígono cerrado sólo puede ser $0$ o $\pm 1$.

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Otra prueba: Supongamos que existe un continuo de la rama de $\sqrt{z}$$U$. Deje $V=\{\sqrt{z}:z\in U\}$. Vamos a probar que $\log z$ tiene un holomorphic rama en $V$; esto proporciona una rama de $2\log\sqrt{z}$$U$.

Observe que los conjuntos de $V$ $-V$ son disjuntas.

Para la existencia de $\log z$ $V$ es suficiente si cada polígono cerrado en $V$ cero bobinado alrededor de $0$. Tomar una cerrada arbitraria polígono $\gamma\subset V$, y para cada $z\in V\subset \gamma$, vamos $n_\gamma(z) =\frac1{2\pi i}\int_{w\in\gamma}\frac{\mathrm{d}w}{w-z}$ ser la liquidación número de $\gamma$ alrededor del punto de $z$. Queremos demostrar $n_\gamma(0)=0$.

Considerar el polígono $-\gamma$. Como $\gamma\subset V$ $-\gamma\subset (-V)$ y los conjuntos de $V$ $-V$ son distintos, las curvas de $\gamma$ $-\gamma$ son distintos, también. Deje $z_1\in(-\gamma)$ $z_2\in(-\gamma)$ estar a dos puntos de $-\gamma$, con una distancia mínima y máxima de $0$. En el conjunto abierto $\mathbb{C}\setminus(\{0\}\cup \gamma)$ los puntos de $0$ $z_1$ están conectados por un segmento de línea; los puntos de $z_1$ $z_2$ están conectados por la curva de $-\gamma$; finalmente, $z_2$ $\infty$ están conectados por un rayo. Por lo tanto, los puntos de $0,z_1,z_2,\infty$ están en la misma componente de $\overline{\mathbb{C}}\setminus(\{0\}\cup\gamma)$, por lo que $$ n_\gamma(0) = n_\gamma(z_1) = n_\gamma(z_2) = n_\gamma(\infty) = 0. $$

Por lo tanto, cada polígono cerrado $\gamma\subset V$ tiene cuerda número$0$$0$, por lo que hay un holomorphic rama de $\log z$$V$.