Sólo una pregunta interesante que vino a mi mente mientras se estudia(!): Desde el Grassmannian $G(k,\mathbb{C}^n)$ es un compacto de colector, ¿qué sabemos acerca de su diámetro? Sabemos que cualquier estimación?
Gracias.
Respuesta
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No es una respuesta completa, pero aquí está la situación para proyectiva del espacio.
En el complejo proyectiva del espacio, el "obvio" que la métrica es Fubini-Estudio. Para determinar el diámetro, sin embargo, usted tiene que especificar una escala, y tres de "interesante" escalamientos vienen a la mente:
Una expresión algebraica aparejador podría escala, de modo que una incrustado línea tiene unidad de área, es decir, la Kähler genera integral cohomology; en este caso, el diámetro es de $\sqrt{\pi}/2$, lo mismo que para una esfera de área de la unidad. (Ingenioso factlet: Para este indicador, en el plano proyectivo, una curva suave de grado $n$ área $n$ por el teorema de Bézout y la dualidad de Poincaré.)
Un complejo diferencial aparejador podría elegir la métrica de la unidad de holomorphic curvatura seccional; en este caso, el diámetro es de $\pi$, lo mismo que para una esfera de unidad de curvatura, por lo tanto, de área $4\pi$ e "Euclidiana radio" igual a la unidad.
Una de Riemann aparejador puede elegir la escala para que el Hopf mapa de la unidad $(2n+1)$-esfera es una de Riemann de la inmersión. Desde la unidad de $(2n+1)$-esfera que tiene un volumen de $2\pi(\pi^{n}/n!)$, y en un gran círculo tiene una longitud de $2\pi$, el resultado es una escala de Fubini-Estudio de la métrica tiene un volumen de $\pi^{n}/n!$; cada proyectiva de la línea, por tanto, ha de área $\pi$, la curvatura $4$, y el diámetro es de $\pi/2$. (Ingenioso factlet: Para este indicador en $\mathbf{CP}^{n}$, el volumen es igual al volumen de la unidad Euclidiana $2n$-ball, que constituye la parte superior dimensiones de la celda si el límite está conectado a $\mathbf{CP}^{n-1}$ por el mapa de Hopf. Hasta donde yo sé, este es un numerológica coincidencia.)
