La serie involucra Registros

Question

Estoy tratando de encontrar el nombre de, y una buena referencia en línea, un tipo de "logaritmo de la serie", por ejemplo,

$$(1+x)^9 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{9^k\ln^k(1+x)}{k!} $$

Me doy cuenta de que esto viene de $x^y \equiv \operatorname{e}^{y\ln x}$ y la serie de Taylor de la función exponencial.

Wolfram-Alpha le da a este como una serie de potenciales de $(1+x)^9$, junto, por ejemplo, el binomio. Yo también recuerdo haber leído acerca de este tipo de "logarith de la serie" hace algunos años. He intentado buscar en Google pero, como te puedes imaginar, sólo listas de la serie del logaritmo natural.

Answer 1

Tenemos de Taylor, Series y Series de Fourier y cada uno es extremadamente útil. Hay algunas aplicaciones en las que uno de ellos es el uso de la mayoría; algunos donde el otro; y un par de donde iba a hacer.

La serie en términos de potencias de log(1+x) son una forma de Taylor de la serie en la que se expanda f(x) en un Taylor de la serie, sustituto log(x) para x en la serie, y así obtener una expansión de f(log x). Lucian se ha señalado para la función en el ejemplo.

Creo que la razón de no encontrar una buena referencia es que series como esta no se utilizan para propósitos generales como son el de Taylor y series de Fourier. Los matemáticos desarrollar el análisis de las ideas que son útiles y ampliamente aplicable. Desde la Taylor de la serie incluyen el tipo de logarthmic serie usted está interesado en, todo el trabajo que se ha hecho en el desarrollo de esa teoría se aplica a su interés.