Cuántas matrices con números enteros autovalores son no?

Question

Supongamos que m,n números naturales. Cuántos mxm-matrices con números enteros las entradas de n a n tienen la propiedad de que todos los autovalores (posiblemente varias) son enteros ?

La siguiente tabla se calcula con PARI muestra los valores para m = 2 y n = 1,..,20

1 55

2 317

3 963

4 2301

5 4315

6 7793

7 12047

8 18449

9 26527

10 37325

11 48683

12 66149

13 82547

14 104713

15 131247

16 162297

17 191599

18 233813

19 270939

20 324045

Para m = 3 yo solo conozco los valores para n = 1,2

1 6417
2 260353
3 2570569

Método de la fuerza bruta es pronto o no factible. Una fórmula en función de m y n iba a ser agradable.

Answer 1

Deje $C(m,n)$ el número de matrices con las propiedades especificadas. He aquí un límite inferior:

Deje $\mathbf{B}$ $(m-1) \times (m-1)$ matriz con el entero de las entradas en el rango de $-n$ $+n$y entero de los autovalores. Esto significa que $\det(\mathbf{B}-\lambda \mathbf{I}_{m-1}) = 0$ sólo ha entero de soluciones. Considere la matriz

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots \\ 0 & B_{11} & B_{12} & \cdots \\ 0 & B_{21} & B_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$

donde $|a_k| \leq n$ son también enteros. El uso de la Laplace/cofactor de expansión, $\det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}_{m}) = (a_1-\mu) \det(\mathbf{B}-\lambda \mathbf{I}_{m-1})$. Por lo tanto, los autovalores de a $\mathbf{A}$ $a_1$ y todos los autovalores de a $\mathbf{B}$. Hay $(2n+1)^m$ maneras de elegir el $a_k$ y cada elección que se da un único $\mathbf{A}$. En conclusión:

$C(m,n) \geq (2n+1)^m C(m-1,n)$

Los elementos $a_k$ también se han añadido como el último de la fila, primera columna, o en la última columna. Pero entonces es más tedioso para tomar el cuidado de todos los posibles doble contabilización, ya que no todo $\mathbf{a}$'s y $\mathbf{B}$'s resultado en un único $\mathbf{A}$ en este caso. No creo que el de arriba enlazado es muy estrecha, aunque, por lo que es probablemente seguro para incluir un factor de 4 en el lado derecho de la envolvente.

PS. Me he hecho este comentario, ya que sólo un límite, pero al parecer mi representante es demasiado baja.