La ampliación de una función por la continuidad de un subconjunto denso de un espacio

Question

Me da dos espacios de $X$$Y$, tanto de Hausdorff. He definido un uniforme de función continua en un denso conjunto de $D$ $X$ que va a $Y$. Así que una vez que se ha definido una función en un subconjunto denso, si deseas ampliar esta función a todo el conjunto de una manera continua, entonces existe al menos un manera de hacer esto. Para que la ampliación sea de forma secuencial continuo, todas las decisiones son "ya hecha" por la determinación del valor de la función en el denso subconjunto. El valor de $f(x)$ debe $\lim f(x_{n})$ donde $x_{n}$ $D$ y convergen a $x$. Me resultó bien definido y único.

Estoy teniendo problemas para demostrar esto es continua, cualquier ayuda es muy apreciada.

Gracias.. Y esto es embarazoso, pero alguien me puede decir cómo aceptar una respuesta. Lo siento...

Answer 1

A la luz de Alex Youcis el comentario, voy a suponer que $X$ $Y$ son espacios métricos. El siguiente enfoque ha sido tomado textualmente (aparte de la notación de cambios) de Juan Erdmann, Un ProblemText en Cálculo Avanzado (Capítulo 24, páginas 146-147).

1. Si $f : X \to Y$ es de manera uniforme un mapa continuo entre dos métrica espacios y $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy en $X$, $f(x_n)$ es una secuencia de Cauchy en $Y$.

2. Deje $X$ $Y$ ser métrica espacios, $S \subseteq X$, e $f : S \to Y$ ser uniformemente continua. Si dos secuencias de $(x_n)$ $(y_n)$ $S$ convergen al mismo límite en $X$ y si la secuencia de $f(x_n)$ converge, entonces la secuencia de $f(y_n)$ converge y $\lim f(x_n) = \lim f(y_n)$.

Prueba De Pista. Considere la posibilidad de la "entrelazado" secuencia $(x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3, \ldots)$.

Ahora, el principal teorema.

Teorema. Deje $X$ $Y$ ser métrica espacios, $S$ un subconjunto de a $X$, e $f : S \to Y$. Si $f$ es uniformemente continua y $Y$ es completa, entonces existe una única extensión continua de $f$$\overline S$. Además, esta extensión es uniformemente continua.

Prueba De Pista. Definir $g : \overline S \to Y$ $g(a) = \lim f(x_n)$ donde $(x_n)$ es una secuencia en $S$ convergentes a $a$. En primer lugar demostrar que $g$ está bien definido. Para ello, debe demostrar que

• $\lim f(x_n)$ no existe, y
• el valor asignado a $g$ $a$ no depende de la particular secuencia $(x_n)$ elegido. Es decir, si $x_n \to a$$y_n \to a$,$\lim f(x_n) = \lim f(y_n)$.

Próximo show que $g$ es una extensión de $f$.

Para establecer la continuidad uniforme de $g$, vamos a $a$ $b$ puntos en $\overline S$. Si $(x_n)$ es una secuencia en $S$ convergentes a$a$,$f(x_n) \to g(a)$. Esto implica que tanto $d(x_j , a)$ $d (f(x_j ), g(a))$ puede hacerse tan pequeña como queramos, eligiendo $j$ lo suficientemente grande. Un comentario similar se tiene para una secuencia $(y_n)$ $S$ que converge a $b$. A partir de este espectáculo que $x_j$ es arbitrariamente cerca de $y_k$ (para $j$$k$) siempre asumimos que $a$ es lo suficientemente cerca de a $b$. Usar esto en vez de demostrar que $g(a)$ es arbitrariamente cerca de $g(b)$ al $a$ $b$ están lo suficientemente cerca.

La singularidad argumento es muy fácil.

Answer 2

(También asumo que trabajamos con métrica espacios.)
Si sólo necesita la continuidad de $g$, luego de la continuidad (no uniforme) de $f$ es suficiente*. Vamos a una secuencia $x_n \in X$ convergen en algún punto de $x$. Vamos a mostrar que el $g(x_n)$ converge a $g(x)$. Voy a escribir '(#)' en los lugares, donde se utiliza la definición de $g$ para una mejor legibilidad.

Para cada $x_n$ ($n$ es fija) existe una secuencia $(w_n^m)_{m=1}^\infty \in D$ que converge a $x_n$. Desde $f(w_n^m) \ \to g(x_n)$ ( # )$w_n^m \to x_n$, se puede elegir como $m_n$ que $d_X(w_n^{m_n}, x_n)$ $d_Y(f(w_n^{m_n}), g(x_n))$ son inferiores a $\frac{1}{n}$.
Ahora (de $d_X(w_n^{m_n}, x_n) < \frac{1}{n}$) se tiene: $\lim_{n \to \infty} w_n^{m_n} = x $, por lo (#):
$\lim_{n \to \infty} f(w_n^{m_n}) = g(x) $,
pero también hemos $d_Y(f(w_n^{m_n}),g(x_n)) < \frac{1}{n}$, así:
$\lim_{n \to \infty} g(x_n) = g(x) $, lo que significa que la continuidad de $g$.

*Sin embargo, usted todavía necesita uniforme de continuidad para demostrar que $g$ definida de forma única, así que mi planteamiento no es mejor, es diferente.