Suma del producto de tres términos en AP

Question

Aquí es una relación interesante:

$$\sum_{r=1}^n r(r+m)(r+2m)=\left(\sum_{r=1}^n r\right)\left(\sum_{r=1}^{n+2m} r\right)\tag{1}$$ $$\text{i.e.} \;\; 1\cdot(1+m)(1+2m)+2\cdot (2+m)(2+2m)+3\cdot (3+m)(3+2m)+\cdots +n(n+m)(n+2m)=(1+2+3+\cdots+n)(1+2+3+\cdots+(n+2m))$$ que da la siguiente para los primeros valores de $m$: $$\scriptsize\begin{align} &1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 2\cdot2+3\cdot3\cdot3+\cdots+n\cdot n\cdot n&&=(1+2+3+\cdots+n)(1+2+3+\cdots+n)\\ &1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+3\cdot5\cdot7+\cdots+n(n+1)(n+2)&&=(1+2+3+\cdots+n)(1+2+3+\cdots+(n+2))\\ &1\cdot3\cdot5+2\cdot4\cdot6+3\cdot5\cdot7+\cdots+n(n+2)(n+4)&&=(1+2+3+\cdots+n)(1+2+3+\cdots+(n+4))\\ \end{align}$$

Esto puede ser demostrado por la expansión de ambos lados y encontrar que el resultado es $$\frac {n(n+1)}2\cdot \frac {(n+2m)(n+2m+1)}2\tag{2}$$

Pregunta
Puede que el resultado puede ser probada sin expansión a la forma cerrada, pero sólo mediante la manipulación de los sumandos y los límites, es decir, demostrar $(1)$ sin que la primera expansión de a $(2)$?

---

Algunas interesantes, pero comúnmente conocido los resultados de ello se derivan.

Establecimiento $m=0$ da la "suma de los cubos como el cuadrado de la suma de enteros" resultado: $$\sum_{r=1}^n r^3=\left(\sum_{r=1}^n r\right)^2$$

Establecimiento $m=1$ da el "discreto integral"

$$\sum_{r=1}^n r^\overline{3}=\frac{\;n^\overline{4}}4$$ donde $r^\overline{a}$ es el símbolo de la creciente factorial.

Answer 1

Voy a utilizar la identidad

$$\sum_{r=1}^n r^3=\left(\sum_{r=1}^n r\right)^2$$

Se puede probar sin expansión directa. (https://math.stackexchange.com/a/1215805/268334)

\begin{align} &\;\sum_{r=1}^n r(r+m)(r+2m)\\ =&\;\sum_{r=1}^n [(r+m)^3-m^2(r+m)]\\ =&\;\sum_{r=1}^{n+m}r^3-\sum_{r=1}^mr^3-m^2\sum_{r=1}^n (r+m)\\ =&\;\left(\sum_{r=1}^{n+m}r\right)^2-\left(\sum_{r=1}^mr\right)^2-m^2\sum_{r=1}^n (r+m)\\ =&\;\left(\sum_{r=1}^{n+m}r-\sum_{r=1}^mr\right)\left(\sum_{r=1}^{n+m}r+\sum_{r=1}^mr\right)-m^2\sum_{r=1}^n (r+m)\\ =&\;\left(\sum_{r=1}^n (r+m)\right)\left(\sum_{r=1}^{n+m}r+\sum_{r=1}^mr\right)-m^2\sum_{r=1}^n (r+m)\\ =&\;\left(\sum_{r=1}^n (r+m)\right)\left(\sum_{r=1}^{n+m}r+\sum_{r=1}^mr-m^2\right)\\ =&\;\left(\sum_{r=1}^n r+mn\right)\left(\sum_{r=1}^{n+2m}r-\sum_{r=1}^m(r+m+n)+\sum_{r=1}^mr-m^2\right)\\ =&\;\left(\sum_{r=1}^n r+mn\right)\left(\sum_{r=1}^{n+2m}r-m(m+n)-m^2\right)\\ =&\;\left(\sum_{r=1}^n r+mn\right)\left(\sum_{r=1}^{n+2m}r-\sum_{r=1}^m(r+m+n)+\sum_{r=1}^mr-m^2\right)\\ =&\;\left(\sum_{r=1}^n r+mn\right)\left(\sum_{r=1}^{n+2m}r-m(2m+n)\right)\\ =&\;\left(\sum_{r=1}^n r\right)\left(\sum_{r=1}^{n+2m}r\right)+mn\sum_{r=1}^{n+2m}r-m(2m+n)\sum_{r=1}^nr-m^2n(2m+n)\\ =&\;\left(\sum_{r=1}^n r\right)\left(\sum_{r=1}^{n+2m}r\right)+\frac{1}{2}mn(n+2m)(n+2m+1)\\ &\qquad-\frac{1}{2}m(2m+n)n(n+1)-m^2n(2m+n)\\ =&\;\left(\sum_{r=1}^n r\right)\left(\sum_{r=1}^{n+2m}r\right)+\frac{1}{2}mn(n+2m)(n+2m+1-n-1-2m)\\ =&\;\left(\sum_{r=1}^n r\right)\left(\sum_{r=1}^{n+2m}r\right) \end{align}

Answer 2

Considerar la suma $$\sum_{i=1}^ri \sum_{j=1}^{r+2m}j$$ que es $$\big(1+2+\cdots+(r-1)+r\big)\big(1+2+3+\cdots+(r-1+2m)+(r+2m)\big)$$ Con la inclusión de $r$, los nuevos términos

$$\requieren{cancel}\begin{align} &\quad r\sum_{i=1}^{r+2m}i&&+(r+2m)\sum_{j=1}^rj&&-r(r+2m)\\ &=r\sum_{i=0}^{r+2m}i&&+(r+2m)\sum_{j=0}^rj&&-r(r+2m)\tag{1}\\ &=r\sum_{i=0}^{r+2m}\big(r+2m-i\big)&&+(r+2m)\sum_{j=0}^r \big(r-j\big)&&-r(r+2m)\tag{2}\\ &=\frac 12 r\sum_{i=0}^{r+2m}(r+2m)&&+\frac 12 (r+2m)\sum_{j=0}^r r&&-r(r+2m)\tag{(1)+(2))/2}\\ &=\frac 12 r(r+2m)\sum_{i=0}^{r+2m}1&&+\frac 12 r(r+2m)\sum_{j=0}^r 1&&-r(r+2m)\\ &=\frac 12 r(r+2m)\sum_{i=1}^{r+2m}1&&+\frac 12 r(r+2m)\sum_{j=1}^r 1&&\cancel{-r(r+2m)}\\ &\; + \cancel{\frac 12 r(r+2m)}&&+\cancel{\frac 12 r(r+2m)}\\ &=r(r+2m)\frac {r+2m}2&&+r(r+2m)\frac r2\\ &=r(r+m)(r+2m) \end{align}$$ Suma de $r=1$ $n$da

$$\color{red}{\sum_{r=1}^n r\sum_{r=1}^{n+2m}r=\sum_{r=1}^n r(r+m)(r+2m)}$$