¿Qué hace $(a,b)$ ¿quieres decir realmente? He visto esto en la "definición formal" de las funciones, y me ha confundido. Ni siquiera hemos definido lo que es un par ordenado, antes de utilizarlo. ¿Es sólo una notación para representar dos números en orden?
Respuestas
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Probablemente lo hayas visto en un contexto de teoría de conjuntos ingenua y no axiomática. Ingenuamente, se entiende un par ordenado intuitivamente, un par de dos cosas, la primera procedente de un conjunto especificado como primer conjunto, y la segunda procedente de un conjunto especificado como segundo conjunto.
Si te molesta que se haya dejado sin definir, ten por seguro que se puede definir. Por ejemplo, la definición de Kuratowski es que $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$ que, puedes convencerte, sí codifica correctamente lo que (todos pretendemos entender informalmente de la misma manera) es el par ordenado.
user21820
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Permítanme motivar el concepto de par ordenado completamente libre de cualquier preconcepción sobre los conjuntos, ya que es bastante obvio que cualquier definición del par ordenado en términos de teoría de conjuntos (ZF) no es exactamente lo que "entendemos intuitivamente" que es un par ordenado.
Cuando queremos describir una secuencia de cualquier tipo, como una frase con palabras, o un procedimiento con pasos, o una cola con personas, necesitamos poder especificar el orden de los objetos en la secuencia, y también poder distinguir entre secuencias con los mismos objetos pero con los objetos en diferente orden. Para una secuencia de exactamente 2 objetos, esto corresponde directamente a la siguiente definición de "par ordenado":
Para cualquier objeto $A,B$ :
Deja " $(A,B)$ " denotan un par ordenado [esto es simplemente una elección de notación]
Para cualquier par ordenado $(A,B),(C,D)$ :
$(A,B) = (C,D)$ si y sólo si $A = C$ y $B = D$ [esto define cuando dos pares son idénticos]
La primera parte define la notación de tal manera que podemos especificar el orden de los objetos simplemente escribiendo sus marcadores de posición en el orden que queramos. Los paréntesis y la coma son una elección arbitraria. (Puedes notar que esta notación puede tener muchos otros significados también en diferentes contextos, lo cual es desafortunado pero siempre podemos indicar explícitamente lo que es para desambiguar).
La segunda parte nos permite identificar si dos pares son idénticos o diferentes. Si $(A,B) = (C,D)$ Por supuesto, queremos que cada parte sea idéntica en función de cómo queremos que nuestra notación se corresponda con nuestra noción de orden. Por lo tanto, estipulamos que $A = C$ y $B = D$ . Por otro lado, si $A = C$ y $B = D$ Queremos que no importe si usamos $A$ o $C$ como el primer objeto de un par, y $B$ o $D$ como segundo objeto, por lo que estipulamos que $(A,B) = (C,D)$ .
Cuando lo vemos así, queda claro qué es la notación (sintaxis) y qué es el significado (semántica).
