Demuestre que la frontera de un conjunto es igual a la frontera de su complemento

Question

$\newcommand{\bdy}{\operatorname{bdy}}$

Estoy tratando de mostrar que $\bdy(A) = \bdy(A^c)$ .

Sé que $\bdy(A) = \operatorname{closure} A \setminus \operatorname{int}(A) = (\operatorname{int}(A^c))^c \setminus \operatorname{int}(A)$ pero no sé a dónde ir a partir de ahí.

Cualquier ayuda o sugerencia será muy apreciada.

Answer 1

Si sabes que $\mathrm{closure}(A)=(\mathrm{int}(A^c))^c$ entonces también tienes $\mathrm{closure}(A^c)=(\mathrm{int}(A))^c$ porque $(A^c)^c=A$ . Por lo tanto,

$$\mathrm{boundary}(A)=\mathrm{closure}(A)\cap(\mathrm{int}(A))^c = \mathrm{closure}(A)\cap \mathrm{closure}(A^c).$$

La última expresión es simétrica en $A$ y $A^c$ .

Answer 2

Se dice que un punto de X es un punto límite de un conjunto A si cada vecindad del punto interseca tanto a A como a X \A. Si se sustituye A por el complemento de A en el enunciado, se obtiene el mismo enunciado. Así que, simplemente, ambos conjuntos tienen el mismo límite.

Answer 3

Obsérvese que para un espacio métrico $(X,d)$ y $A \subset X$ , $bdy(A)$ es $cl(A) \cap$ $cl(X \backslash A)$ . Para demostrar que $bd(A)$ es un subconjunto de $bd(X \backslash A)$ (un argumento similar puede mostrar la inclusión inversa), en realidad sólo basta con mostrar que $X \backslash (X \backslash A)$ es $A$ .

Nótese que una definición equivalente de la frontera de A es $cl(A) \backslash int(A)$ . Si utilizas esta definición, te sugiero que demuestres que las dos definiciones son efectivamente equivalentes.

Answer 4

Para demostrar que la frontera de un conjunto A es igual a la frontera de su complemento, basta con demostrar que existe un elemento x entre las fronteras de $A$ y $A^c$ . Así que si $x$ pertenece al límite de $A$ , Esto implica que existe $y$ y $z$ tal que $y$ pertenece a $A$ y $z$ pertenece a $A^c$ . Esto implica que bd $(A)=x=bd (A^c)$ . Por lo tanto, $bd (A)=bd(A^c)$ .