El problema de la doble caída de bola es el siguiente
Una bola de masa $m$ se coloca encima de una bola de masa $M$ (donde $m < M$ ), y las bolas se dejan caer simultáneamente desde cierta altura $h$ . Cuando las bolas toquen el suelo, la bola de arriba saldrá disparada hacia arriba. ¿Cuál es la velocidad de esta bola en el momento en que sale disparada hacia arriba?
Por eso pregunto: ¿hay alguna derivación fácil de este problema, sin usar el cálculo?
He intentado resolverlo utilizando la conservación del momento, la energía cinética y la energía mecánica, pero parece que soy incapaz de resolverlo. Mi intento es el siguiente:
En primer lugar, podemos resolver la velocidad de la bola más grande utilizando la conservación del momento:
$$p_\text{before} = p_\text{after}$$
$$(m + M)\sqrt{2gh} = mv_m + Mv_M$$
$$v_M = \frac{(m + M)\sqrt{2gh} - mv_m}{M}$$
Entonces, usando la conservación de la energía cinética:
$$\frac{1}{2}(m + M)\sqrt{2gh}^2 = \frac{1}{2}mv_m^2 + \frac{1}{2}Mv_M^2$$
$$v_M = \sqrt{\frac{2gh(m + M) - mv_m^2}{M}}$$
Y entonces puedes igualar los dos para obtener:
$$\sqrt{\frac{2gh(m + M) - mv_m^2}{M}} = \frac{(m + M)\sqrt{2gh} - mv_m}{M}$$
Sin embargo, esto, cuando se resuelve, da $v_m = \sqrt{2gh}$ lo que no concuerda con lo que me han enseñado (que la velocidad debería ser unas tres veces mayor).
¿Qué estoy haciendo mal en esta derivación? Las matemáticas son correctas, estoy seguro. Está en algún lugar de la propia física, un concepto que se me escapa.
Se agradece cualquier ayuda.
