Demostrar que $|-x| = |x|$

Question

Utilizando sólo la definición de Valor Absoluto:

$\left|x\right| = \begin{cases} x & x> 0 \\ -x & x < 0 \\ 0 & x = 0,\end{cases}$

Demostrar que $|-x| = |x|.$

Esto parece tan sencillo, pero me sigo atascando. Utilizo la definición insertar $-x$ en la definición, pero termino con:

$\left|-x\right| = \begin{cases} -x & x> 0 \\ -(-x) & x < 0 \\ 0 & x = 0\end{cases}$

lo que no tiene sentido para mí. Ciertamente no es igual a $|x|,$ ¿verdad?

Yo usaría $|x| = \sqrt{x^2}$ pero se supone que tengo que demostrar esa identidad más adelante en el problema. ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

$\left|-x\right| = \begin{cases} -x & \bbox[5px,border:2px solid #F0A]{-x> 0} \\ -(-x) & \bbox[5px,border:2px solid #F0A]{-x < 0} \\ 0 & \bbox[5px,border:2px solid #F0A]{-x = 0}\end{cases}$

Answer 2

Más bien, debería tener $$\lvert-x\rvert=\begin{cases}-x & -x>0\\-(-x) & -x<0\\0 & -x=0.\end{cases}$$ ¿Puedes seguir a partir de ahí?

Answer 3

Aquí tienes una forma aún más rápida. Utilice la propiedad $|ab|=|a||b|$ en $|-x|$ .

Answer 4

Buena pregunta. Tienes que darle la vuelta al $>$ y $<$ en la definición.

Es por la misma razón que hay que invertir el signo cuando se multiplican ambos lados de $a > b$ por $-1$ , obteniendo $-a < -b$ .

Answer 5

Sus sustituciones muestran que $|-x|=-|x|$ . lo cual es falso. El error proviene del hecho de que al introducir el signo menos no intercambiaste el sentido de las desigualdades

una vez intercambiados

$|-x|= -x\quad (x<0)$

$|-x| = x\quad (x>0)$

$|-x| = 0\quad (x=0)$

ves que $|-x|$ coincide con la de $|x|$ otra vez.