Probar

Question

Buscaba ayuda para probar la desigualdad siguiente. Cualquier identidades logarítmicas correspondientes sería genial. Trató de distinguir y tomando límites y estoy perdida en cuanto a cómo abordar esto.

$$\frac 1{x+1}<\ln\left(\frac{x+1}x\right)<0.5\left(\frac 1x+\frac 1{x+1}\right)$$

Answer 1

Recordemos una propiedad de las integrales, tan simple que uno podría pensar que nada bueno podía salir de ella, y sin embargo:

Para cada intervalo de $(a,b)$ $a\leqslant b$ y las funciones de $u$ $v$ tal que $u\geqslant v$$(a,b)$, $$\int_a^bu(x)\mathrm dx\geqslant\int\limits_a^bv(x)\mathrm dx.$$ En particular, si $u\geqslant c$$(a,b)$, para algunas constantes $c$,$\displaystyle\int_a^bu(x)\mathrm dx\geqslant c(b-a)$.

En el presente caso, uno puede empezar a partir de la identidad $\log((x+1)/x)=\int\limits_x^{x+1}u(t)\mathrm dt$ $u(t)=1/t$ y tenga en cuenta que $u(t)\geqslant1/(x+1)$ por cada $t$ en el intervalo de $(x,x+1)$. Esto debería dar una desigualdad.

Para la otra desigualdad, uno puede demostrar que el $v(s)=u(x+1/2+s)+u(x+1/2-s)$ es una función creciente de $s$ $s$ $(0,1/2)$ y tenga en cuenta que $\log((x+1)/x)=\int_0^{1/2}v(s)\mathrm ds$.

Se puede llegar a ese punto y terminar la prueba a partir de ahí?

Answer 2

Para LHS:utilice esta bien konw la desigualdad $$\dfrac{x}{x+1}\le\ln{(1+x)},x>-1\Longrightarrow \ln{\left(\dfrac{x+1}{x}\right)}=\ln{\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}\ge\dfrac{\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}=\dfrac{1}{x+1}$$ Para los HR: lo único que probar $$2\ln{(1+x)}<x+\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{x^2+2x}{x+1}$$ vamos $$g(x)=2\ln{(1+x)}-\dfrac{x^2+2x}{x+1}\Longrightarrow g'(x)=\dfrac{2}{x+1}-1-\dfrac{1}{(x+1)^2}=\dfrac{-x^2}{(x+1)^2}\le 0$$ así $$g(x)\le g(0)=0$$ así $$\ln{(1+x)}\le\dfrac{1}{2}(x+\dfrac{x}{x+1})$$ así $$\ln{\left(\dfrac{x+1}{x}\right)}\le 0.5\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}\right)$$