Aritmética: Demostrar que es múltiplo de 30

Question

Demostrar que $n^{19}-n^7$ es múltiplo de $30$

He visto a $6$ puede dividir porque $$n^{19}-n^7=n^7(n^{12}-1) = n^7(n^6+1)(n^6-1)=n^4(n^6+1)(n^3-1)n^3(n^3+1)$$

Y hay tres números consecutivos, por lo que, al menos uno es múltiplo de $3$ y hasta dos números.

Pero, ¿cómo demostrar que es múltiplo de $5$?

Answer 1

Decir $$n \equiv 0,\pm1,\pm2 \pmod 5$$ o, $$n^2 \equiv 0,1,4 \pmod 5$$ o, $$n^6 \equiv 0,1,64 \pmod 5$$ o, $$n^6 \equiv 0,1,-1 \pmod 5$$

Por lo tanto, $5$ divide al menos uno de $n^6,n^6-1$ o $n^6+1$, $5$ divide $n^6(n^6-1)(n^6+1)$ .

Y

$n^{19}-n^7=n\cdot n^6(n^{12}-1)=n\cdot n^6(n^6-1)(n^6+1)$

Por tanto, dada la expresión es divisible por $5$ y por lo tanto por $30$.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Aviso, uno debe re-escribir y factorizar como sigue $$n^{19}-n^7=n^7(n^{12}-1)$$ $$=n\cdot \underbrace{n^6\color{blue}{(n^{6}-1)}\color{red}{ (n^{6}+1)}}_{\text{divisible by 5}}$$ $$=n^7\color{blue}{(n^{3}-1)(n^3+1)}\color{red}{(n^{2}+1)(n^4-n^2+1)}$$

$$=n^7\color{blue}{(n-1)(n^2+n+1) (n+1)(n^2-n+1)}\color{red}{(n^{2}+1)(n^4-n^2+1)}$$ $$=n^4\underbrace{(n-1)n(n+1)}_{\text{divisible by 3!}}\ \underbrace{n^2(n^2+1)}_{\text{divisible by 2! }}(n^8+n^4+1)$$ por lo tanto es claro que $\color{blue}{n^{19}-n^7}$ es divisible por $5\times 3!\times 2!=60$ es decir, que es divisible por $\color{red}{30}$