He establecido que $(x_n)$ es monótonamente decreciente, pero no sé si debo intentar demostrar que $\frac{1}{\varphi}$ es el infimum de $(x_n)$ o utilizar otro método.
Respuestas
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Usted sabe que es monótonamente decreciente y es claramente limitada por 0, por lo que se debe tender a algún límite $L.$, por Lo que desde $x_n \to L$, tomando los límites de la recursividad da $$ L = \frac{L+1}{L+2}.$$ Can you use this to find $L$?
Probablemente no lo fue para su clase de análisis, pero no limpia de todos modos: Vamos a $x_n = \dfrac{y_{n+1}}{y_n} - 2$$y_0=y_1=1$, por lo que su recursividad se convierte en $y_{n+1}-3y_{n+1}+y_n=0.$ podemos resolver explícitamente para el término general de la $y_n$ e lo $x_n$ pero no los necesitamos aquí. Todo lo que necesitamos es que el $y_n = A \lambda_1^n + B \lambda_2^n$ $\lambda_1 = \varphi+1$ $|\lambda_2|<1$ $x_n \to \varphi+1 -2= \dfrac{1}{\varphi}.$
Martin Hoare
Puntos
11
Considere la posibilidad de $a$ es el positivo de la raíz de la ecuación $x^2 + x - 1 = 0$ Tenemos $a^2 + a - 1 = 0, \ \dfrac{1-2a}{1-a} = - a$.
en primer lugar, la prueba de $x_n > a, \forall n \ge 1$ por inducción:
para n = 1, $x_1 = 1 > a$ es correcto.
Si $x_n > a,$ $ x_{n+1} -a = \dfrac{x_n + 1}{x_n + 2} - a = \dfrac{(1-a)x_n + 1 - 2a}{x_n + 2}$
$x_{n+1} - a = (1-a) \dfrac{x_n + \dfrac{1-2a}{1-a}}{x_n + 2} = (1-a) \dfrac{x_n - a}{x_n + 2} > 0$
Lo que implica $x_{n+1} > a$
Ahora tenemos la prueba de secuencia ${x_n}$ disminución de:
Considere la posibilidad de $x_{n+1} - x_n = \dfrac{x_n + 1}{x_n + 2} - x_n = \dfrac{1 - x_n - x_n^2}{x_n + 2}$
$x_{n+1} - x_n = \dfrac{a + a^2 - x_n - x_n^2}{x_n + 2} = \dfrac{(a - x_n)(1 + a + x_n)}{x_n + 2} < 0 $
Sequance ${x_n}$ decreciente, acotada por debajo de lo que se tiende a $a$ cual es el positivo de la raíz de la ecuación $ a = \dfrac{a + 1}{a+2}$.
$a = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \dfrac{1}{\varphi}$
