Demostrar que $V=U \bigoplus W \approx U \times W$

Question

Vamos $V=U \bigoplus W$, $V \approx U \times W$. Tenga en cuenta que $U,W$, son finitos dimensiones de los subespacios del espacio vectorial V, y también que $U \bigoplus W$ $V=U+W$ $U \cap W = \{0\}$

Realmente no estoy seguro de cómo ir sobre esto, porque no parecen ser fiel a mí. Pero después de algunas investigaciones, parece ser cierto. Gracias de antemano.

Answer 1

Usted puede construir el isomorfismo de forma explícita. Si $V = U \oplus W$ cualquier $v \in V$ puede escribirse de forma única como $u+w$$u \in U$$w \in W$. Definir $f : V \to U \times W$$u+w \mapsto (u,w)$. Es fácil comprobar que esta es una buena definición de isomorfismo lineal.

Answer 2

Por definición

$$ U \oplus V = \left\{ u + v \ \vert \ u\U, v \V \right\} \ , $$

además, el hecho de que $U\cap V = \left\{ 0\right\}$.

También por definición

$$ U\times V = \left\{ (u,v) \ \vert \ u\U, v \V \right\} \ . $$

Podemos concluir cualquier cosa, desde que en el fin de definir isomorphisms

$$ f: U\oplus V \longrightarrow U\times V \qquad \text{y} \qquad g: U\times V \longrightarrow U\oplus V \quad \text{?} $$