Demostrar o refutar la existencia de una sucesión convergente débilmente a$0$, en un infinito dim espacio de Hilbert

Question

Este es un problema en un viejo análisis de lo qual, el mensaje es:

"Demostrar o dar un contraejemplo: si $H$ es un infinito dimensional espacio de Hilbert y $0$ es el vector cero en $H$, entonces existe una secuencia $\{x_n\}$$H$, de modo que $||x_n|| \ge 1$ $\{x_n\}$ converge débilmente a el vector cero $0$$H$."

Sé que la unidad de la bola no es necesariamente débilmente compacto en un espacio de infinitas dimensiones si no es reflexiva. Pero esta es la especificación de la existencia de una única secuencia, que no dice nada acerca de cada secuencia de tener un convergentes subsequence etc.

Ya que es un espacio de Hilbert sé que es equivalente a $(x_n,y) \rightarrow 0$ todos los $y \in H$ para este espacio. Estuve tentado a asumir una contables ortonormales utilizar la Identidad de Parseval para mostrar $||x_n||^2$ podría ser inferior a 1, pero esto parecería exigir $(x_n,e_k)$ a converger uniformemente (es decir, independientemente de $k$ cuando la $e_k$'s son ortonormales conjunto).

De todos modos, estoy atascado. Alguna sugerencia? Gracias!

Answer 1

Bueno, basado en la obra de David Mitra comentario de que podemos construir un ortonormales de la secuencia. Para la facilidad de mostrar el resultado requerido vamos a llamar a esta $\{x_n\}$. A continuación, la desigualdad de Bessel da para todos los $y \in H$ que:

$\sum_{n=1} ^\infty |(x_n,y)|^2 \le ||y||^2$. Suponga $||y||^2$ no es infinito, lo que parece razonable, entonces este es convergente con la secuencia que implica los términos mucho el enfoque de cero, por lo tanto $\lim_{n \rightarrow \infty} (x_n,y) = 0$, por lo tanto, por definición, tenemos una secuencia que converge al vector 0 (y ya es ortonormales $||x_n|| = 1$, por lo que satisface $||x_n|| \ge 1$.

Me pregunto por qué la pregunta especifica la norma es mayor que o igual a 1. Acaba de lanzar para hacerlo más confuso?