Cómo encontrar la simetría de las transformaciones?

Question

Para un dado de Lagrange

$$ {\cal L} = - \frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu\nu} + |D_{\mu} \phi|^2 -V (\phi) $$

con $\phi = \frac{1}{\sqrt{2}} (\phi^1 + i \phi^2)$, el infinitesimal local transformaciones de simetría $$ \begin{align} \delta \phi^1 &= - \alpha (x) \phi^2 \\ \delta \phi^2 &= \alpha (x) \phi^1 \\ \delta A_\mu &= - \frac{1}{e} \partial_\mu \alpha \end{align} $$ Puedo conectar y mostrar que el Lagrangiano es invariante. Pero, ¿de dónde vienen? Es sólo por la experiencia o la estructura de las transformaciones de los resultados de la Mentira de álgebra o de otras restricciones?

En general, las transformaciones parecen que son dados por dios para mí, incluso si vuelven a aparecer en forma similar para los diferentes tipos de campos. En otras palabras, ¿por qué $\delta \phi^1 $ $\delta \phi^2 $ mezcla?

¿Cómo puedo saber la estructura de la transformación de un campo? Es sólo de prueba y error?

Answer 1

Las transformaciones que se puede deducir esencialmente a partir de representaciones de álgebras de Lie. Para el Lagrangiano de que usted haya escrito, estamos describiendo una $U(1)$ teoría de gauge. Irreductible representaciones de $U(1)$ son un complejo de dimensiones y son siempre de la forma $e^{i q \alpha}$ donde $q\in {\mathbb R}$. Por definición, esta es una representación y, por tanto, actúa en un complejo de dimensiones de espacio vectorial como $$ \phi \e^{i q \alpha} \phi $$ Ahora podemos aplicar este principio en la física, donde todo está en función del espacio-tiempo, $\phi \to \phi(x)$, $\alpha \to \alpha(x)$. Se puede comprobar que la escritura $\phi = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \phi^1 + i \phi^2)$ reproduce con precisión las transformaciones que han escrito.

La transformación de $A_\mu$ luego pueden ser deducidas a partir de consideraciones geométricas. Para hacer esto, vamos a intentar construir un Lagrangiano es invariante bajo el local de calibre transformaciones $$ \phi (x) \a e^{i q \alpha(x)} \phi(x) $$ El natural de primera cosa a hacer es intentar escribir una cinética de plazo por el escalar. Sin embargo, el habitual, es decir, $\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi$ ya no funciona, ya que transforma extrañamente bajo calibre transformaciones. La razón es que la derivada de un campo se define como $$ n^\mu \partial_\mu \phi(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{ \phi(x+ \epsilon n ) - \phi(x) }{ \epsilon} $$ Claramente, el problema es que en la derivada, estamos teniendo una diferencia de campos en espacio-tiempo puntos! Ya que el medidor de transformación es local, actúa de forma diferente en los campos en diferentes espacio-puntos de tiempo. Este es básicamente el problema. Para remediar esto, se introduce un campo diferente $W(x,y)$ tal que $W(x,x) = 1$ y bajo calibre transformaciones se transforma a medida $$ W(x,y) \a e^{i q \alpha(x) } W(x,y) e^{- i q \alpha(y) } $$ Podemos definir una "nueva derivados", como $$ n^\mu D_\mu \phi(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{W(x,x+\epsilon n) \phi(x+ \epsilon n ) - \phi(x) }{ \epsilon} $$ Tomar el límite descrito anteriormente y que se reproducen precisamente la derivada covariante que tiene en su Lagrange donde $$ W(x,x+\epsilon n) = 1 - i \epsilon n^\mu A_\mu + {\cal O}(\epsilon^2) $$ Usted puede también comprobar que el indicador de la transformación de la $W$ implica que el específico indicador de la transformación de la $A_\mu$ de lo que usted escribió.

Por lo tanto, todo el calibre de las transformaciones pueden ser "derivado" de argumentos como el anterior. Tenga en cuenta también que esta discusión puede ser fácilmente generalizado a no abelian medidor de teorías.

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