Un total bien en conjunto ordenado no puede ser denso

Question

Deje $E$ ser totalmente ordenado en $<$ , y densa. Me gustaría demostrar que un conjunto ordenado es nunca denso.

Para probar esto, traté de fid no está vacío subconjunto $X$ $E$ tal que no hay ningún elemento menos. Así que, aprovecho $X=\{z\in E: \forall x,y\in E\quad x<z<y\}$, es no vacía, debido a que E es denso.

Si asumo que hay al menos un elemento, señaló $l$. Tenemos $$\forall w\in X\quad l<w.$$ As $l\X$ and $<$ is dense, we can find an element between $x$ and $l$, therefore $l$ no es un elemento menos.

Es correcto?

Answer 1

Como fleablood comentado, esto no es del todo correcto, porque su definición de $X$ no es lo que usted quiere que sea. Para $z$ a ser un elemento de $X$, $z$ ha de satisfacer $x<z<y$ por cada $x,y\in E$ simultáneamente, lo cual es imposible! Por ejemplo, usted podría tomar $x=y=z$, en cuyo caso $x<z<y$ es definitivamente falso.

Lo que usted quiere hacer en su lugar es fijar dos elementos $x,y\in E$ $x<y$ antes de tiempo y, a continuación, defina $X$ el uso de estos dos elementos fijos, sin un cuantificador. Tenga en cuenta que esto plantea una cuestión importante: la declaración de que usted está tratando de demostrar que no es cierto en general, ya que se necesita para saber que dos de estos elementos $x$ $y$ existe! Si $E$ está vacío o tiene un solo elemento, entonces, en el hecho de $E$ es bien ordenado y densa.