¿Cuál es el más viejo abren problema en geometría?

Question

La geometría es una de las ramas más antiguas de las matemáticas, y muchos de los famosos de los problemas que han sido propuestos y resueltos en su larga historia.

Lo que me gustaría saber es: ¿Cuál es la más antigua problema abierto en la geometría?

También (suave preguntas): ¿por Qué es tan difícil? Que las herramientas existentes pueden ser útiles para manejar? Si veinte grandes geómetras de hoy se reunieron para trabajar juntos en el problema, sería que (probablemente) ser capaz de resolverlo?

P. S. El problema puede ser de cualquier área de la geometría (discretos, diferencial, etc...)

Answer 1

Problema:

Cada triangular de billar tiene una órbita periódica?

Para la fase aguda de triángulos, la pregunta ha sido respondida afirmativamente por Fagnano en 1775: uno puede tomar simplemente la longitud $3$ órbita de unirse a la basepoints de las alturas del triángulo.

Para (genérico) triángulos obtusos, no se conoce la respuesta, a pesar de los considerables esfuerzos de muchos matemáticos. Al parecer, A. Katok ha ofrecido una $10.000$\$ de premio para una solución de este problema.

Answer 2

Uno de mis favoritos porque es tan simple para el estado. Discuten en este MO pregunta y se relaciona con un también muy interesante, aunque resuelto pregunta/puzzle que he publicado aquí hace un tiempo. No estoy seguro de que cuando el problema se enunció por primera vez, pero no cabe duda de que han sido entendido por incluso los primeros matemáticos.

Puede un disco en mosaico por un número finito de piezas congruentes (puede girar o voltear las piezas una encima de la otra) de forma tal que el centro del disco está contenida en el interior de una de las piezas?

Hasta ahora, el único tipo de mosaicos de la disco por congruentes piezas, las cuales no se conocen, todos tienen el centro del disco de la mentira en la frontera de más de una pieza. Aquí hay algunos ejemplos que no tienen el centro en el interior de una de las piezas:

De Robert Israel respuesta

De robjohn la respuesta

Debo añadir que por la pieza ' nos referimos a algunos de niza subconjunto del disco tal como homeomórficos a un disco de sí mismo, y es igual a la de cierre de su interior.

Por 'mosaico', nos referimos a la unión de las piezas debe ser todo el disco, y la intersección de dos piezas deben estar contenidas dentro de la unión de los límites de las piezas.

Answer 3

El $$n problema de los tres cuerpos es un antiguo problema que originalmente era un problema de la geometría Euclidiana (que fue originalmente identificado con el estudio de "espacio" --- el espacio físico y abstracto de la geometría no eran conceptualmente separados hasta la época moderna). El problema fue determinar el movimiento de $n$ celestial que interactúan a través de la gravedad. Se remonta a la antigua grecia, los astrónomos, fue estudiada ampliamente por Kepler, Newton, Poincaré, y continúa hoy en día. Un concurso de matemáticas que se planteó en 1885 por el Rey Oscar II de Suecia y Noruega ofreció un premio para su solución, que fue otorgado a Poincaré, aunque el problema no fue resuelto. Quizás debido a su dificultad de $n$-problema de cuerpo contribuido al surgimiento de muchos diferentes áreas de las matemáticas a través de los siglos, incluyendo cálculo (a través de la obra de Newton), teoría de la perturbación, y el caos.

Answer 4

Frank Morgan se ha referido a la menor perímetro de la forma de dividir el plano en las áreas de la unidad como la "más antigua problema abierto en matemáticas", que se remonta al primer milenio a. c., cuando un soldado Romano, escribió acerca de las abejas en su granja después de haber resuelto el camino para "encerrar la mayor cantidad de espacio".

Uno podría considerar el menor perímetro manera de encerrar en una sola área (círculo) o el volumen (la esfera), lo cual puede ser comprobado por medio de la simetría. El problema se vuelve más difícil cuando se encierra más de un área, las dos dimensiones de la solución (un "doble burbuja") fue probado en 1991 por Joel Foisy (luego de pregrado), y un de tres dimensiones versión Hutchings, Morgan, Ritore, y Ros en el año 2000.

Incluso a definir el problema de dividir el plano en las áreas de la unidad (ya que tanto el área y el perímetro será infinito), uno toma un límite de la relación del perímetro de la zona dentro de una bola como el radio de la bola aumenta. Thomas Hales, resultó que la solución era el hexagonal de nido de abeja en 1999, es decir, se tomó un poco más de 2.000 años en resolver.

Las tres dimensiones de la versión de este problema se llama Kelvin Problema, y el actual mejor conjetura fue utilizado en el diseño para el aquatics center en los juegos Olímpicos de Beijing.

Answer 5

El problema de patilla cuadrada fue planteado por Otto Toeplitz hace más de cien años y todavía está abierta; Ver http://www.ams.org/notices/201404/rnoti-p346.pdf

Se trata de encontrar cuatro puntos en una curva de Jordan que forman un cuadrado.