$\text{LCM}(a,b,c,d)=a+b+c+d$ donde $a,b,c,d\in\mathbb Z^+$.
Demostrar que $abcd$ es divisible por al menos uno de $3$$5$.
No estoy seguro de cómo crear este tipo de prueba. En qué consiste pruebas de divisibilidad? ¿Cómo debo configurarlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Suponemos que a $a\ge b\ge c\ge d\ge 1$ $s=a+b+c+d$ es el mínimo común múltiplo de $a$, $b$, $c$ y $d$.
Ahora, por contradicción, supongamos que $s$ no es un múltiplo de a $3$ ni $5$.
Tenga en cuenta que si $a=b=c=d$ $4a=s$ (debido a $s$ es la suma) y $s=a$ (debido a $s$ es la lcm). Esto no es posible.
- Como $a<s<4a$ $s$ es un múltiplo de a$a$, $s=2a$ (no puede ser $3a$) y $b+c+d=a$, lo $b<a$
- $a=b+c+d\le 3b$. Por lo tanto $2b<s=2a\le 6b$. Por lo $s=4b$ (no puede ser $3b$, $5b$ o $6b$). $a=2b$ y $c+d=b$, lo $c<b$
- $b=c+d\le 2c$. Por lo tanto $4c<s=4b\le 8c$. Así que o $s=7c$ o $s=8c$ (no puede ser $5c$ o $6c$).
Ahora dos posibilidades :
- $s=8c=4b=2a$ Por lo tanto $d=c$, e $s=lcm(a,b,c,d)=a$. Una contradicción
- $s=7c=4b=2a$ Por lo tanto, hay un $k$ tal que $a=14k$, $b=7k$, $c=4k$ y $d=3k$ (debido a $s=a+b+c+d=2a=28k$), por lo $d$ es un múltiplo de a $3$, contradicción.
Por lo tanto, $s$ es un múltiplo de a $3$ o $5$ y $s$ divide $abcd$, por lo que es $abcd$.
Tenga en cuenta que obviamente es siempre un múltiplo de $2$ también, porque si $a$, $b$, $c$, $d$ son todos los impares, a continuación, $s=a+b+c+d$ podría ser, incluso, una contradicción.
Algunos ejemplos :
- sólo varios de $3$ : 4, 3, 3, 2
- sólo varios de $5$ : 5, 2, 2, 1
- varios de $15$ : 15, 10, 3, 2
Después de eso, usted puede probar con un método similar que sólo hay 9 diferentes (con $a\ge b\ge c\ge d$) soluciones con $gcd(a,b,c,d)=1$, y que todas las otras soluciones son múltiplos de uno de los nueve primitivo solución.
$$ \begin{array}{cccc|c} a&b&c&d&s\\\hline 4& 3& 3& 2 & 12\\ 4& 4& 3& 1 & 12\\ 5& 2& 2& 1 & 10\\ 6& 4& 1& 1 & 12\\ 9& 6& 2& 1 & 18\\ 10& 5& 4& 1 & 20\\ 12& 8& 3& 1 & 24\\ 15& 10& 3& 2 & 30\\ 21& 14& 6& 1 & 42\\ \end{array} $$
