La prueba de $ \text{Var}\,\left(\sum_{i=1}^{n}g(X_i)\right)=n\left(\text{Var}\,g(X_1)\right).$

Question

Tengo una pregunta acerca de la parte de una prueba de un Lexema en un libro (Casella de la Inferencia Estadística) estoy leyendo. Esto es cómo va.

Deje $X_1, \cdots ,X_n$ son una muestra aleatoria de una población y deje $g(x)$ ser una función tal que $\mathbb{E}g(X_1)$ $\text{Var}\,g(X_1)$ existen. A continuación, $$ \text{Var}\,\left(\sum_{i=1}^{n}g(X_i)\right)=n\left(\text{Var}\,g(X_1)\right).$ $

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Así es como me puse a probarlo.
Puesto que el $X_i's$ son independientes, tenemos que
$$ \begin {align*} \text{Var}\,\left(\sum_{i=1}^{n}g(X_i)\right)&= \text{Var}\,g(X_1)+\cdots +\text{Var}\,g(X_n)\\ &= n\text{Var}\, g(X_1). \end {align*}$$ donde la última igualdad se mantiene debido a que el $X_i's$ son idénticamente distribuidas. Se puede hacer esto? Yo estoy pidiendo esto porque la prueba en el libro inicia con la definición de la varianza y en algún lugar a lo largo de las líneas involucradas la matriz de covarianza.
Gracias.

Answer 1

Shai ha respondido a la Nana de la pregunta, pero en el interés de esta pregunta es "oficialmente", respondió vamos a probar la escuela primaria, el resultado Shai la cites; es decir, que si $Y_1, \ldots, Y_n$ son independientes de las variables aleatorias con finito media y la varianza, a continuación,$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(Y_1 + \cdots + Y_n) = \Var(Y_1) + \cdots + \Var(Y_n)$.

En primer lugar, vamos a probarlo en el $n=2$ de los casos. Si $Y_1$ $Y_2$ son independientes, entonces sabemos que $E[Y_1 Y_2] = E[Y_1] E[Y_2]$. Por una propiedad básica de la varianza,

$$\Var(Y_1 + Y_2) = E[(Y_1 + Y_2)^2] - (E[Y_1 + Y_2])^2 = E[Y_1 + 2Y_1Y_2 + Y_2^2] - (E[Y_1] + E[Y_2])^2$$ $$= E[Y_1^2] + 2E[Y_1Y_2] + E[Y_2^2] - E[Y_1]^2 -2E[Y_1]E[Y_2] - E[Y_2]^2$$ $$= E[Y_1^2] - E[Y_1]^2 + E[Y_2^2] - E[Y_2]^2 = \Var(Y_1) + \Var(Y_2).$$

Entonces, aplicando el resultado de la $n=2$ caso sucesivamente para el caso general, tenemos $$\Var(Y_1 + \cdots + Y_n) = \Var(Y_1) + \Var(Y_2 + \cdots + Y_n) = \Var(Y_1) + \Var(Y_2) + \Var(Y_3 + \cdots + Y_n)$$ $$= \cdots = \Var(Y_1) + \cdots + \Var(Y_n).$$