¿Por qué es $a\equiv b \pmod n$ equivalente a las congruencias $a\equiv b,b+n,b+2n,\dots,b+(c-1)n\pmod {cn}$?

Question

Aprendí la siguiente proposición (en el que no hay ninguna prueba) en el GRE math libro de preparación. No entiendo lo que significa, y no soy capaz de encontrar cualquier teorema acerca de esta declaración en Hardy es Una Introducción a la Teoría de Números.

Para cualquier entero positivo $c$, el declaración de $a\equiv b \pmod n$ es equivalente a la congruencias $a\equiv b,b+n,b+2n,\dots,b+(c-1)n\pmod {cn}.$

Ni siquiera puedo aplicar esta propuesta para un ejemplo como $7\equiv 1\pmod 6$. Si lo anterior es cierto, entonces

$$7\equiv 1,7,13,19\pmod{24}$$ que es obvio que no es cierto.

Hay alguna errata aquí? O ¿cómo debo entender esta "propuesta"?

Edit: Esta pregunta puede estar relacionada con la pregunta aquí.

Añadió:

¿Cómo debo demostrar esta proposición?

Answer 1

Sólo en caso de que usted no está familiarizado con la equivalencia a la congruencia que yo voy a utilizar:

Lema. Vamos $a$, $b$, y $n$ ser números enteros. A continuación, $a\equiv b\pmod{n}$ si y sólo si existe un entero $k$ tal que $a=b+kn$.

Prueba. $a\equiv b\pmod{n}$ si y sólo si $n|a-b$, si y sólo si existe un entero $k$ tal que $nk=a-b$, si y sólo si existe un entero $k$ tal que $b+nk = a$. QED

Para demostrar la proposición, la primera asume que el $a\equiv b\pmod{n}$. Eso significa que $a=b+kn$ para algunos entero $k$. Por lo tanto, $$a\equiv b+kn \pmod{nc}$$ sostiene. Esto se ve casi como la respuesta que queremos. Así que la pregunta es: ¿cuáles son los posibles valores de $kn$ modulo $nc$?

Para averiguarlo, se dividen $k$ $c$ con el resto; es decir, escribir $k=qc+r$, $0\leq r\lt c$ (algoritmo de la división). Entonces $$b+kn = b+(qc+r)n = b+q(cn) + rn \equiv b+rn\pmod{cn}.$$ Por lo tanto, $$a\equiv b+rn\pmod{nc},$$ y $r$ es $0$, $1$, $2,\ldots,c-1$, porque es el resto de dividir a $k$$c$.

Por el contrario, supongamos que $$a\equiv b+rn\mod{cn}$$ para algunos $r$, $r=0$, $1$, $2,\ldots,c-1$. Eso significa que $a=b+rn+k(cn)$ para algunos entero $k$. Entonces $$a = b+rn+kcn = b+(r+kc)n,$$ así $$a =b+(r+kc)n \equiv b\pmod{n}.$$

Por lo tanto, $a\equiv b\pmod{n}$ si y sólo si $a$ es congruente a uno de $b$, $b+n$, $b+2n,\ldots,b+(c-1)n$ modulo $cn$.