¿Cómo se podía encontrar un triángulo con vértices en o en la unidad de cubo, de tal manera que la longitud del lado más pequeño es maximizado? ¿Y qué es eso de longitud?
Un límite inferior para la longitud es de $\sqrt{2}$, observando un triángulo equilátero, y un límite superior es $\sqrt{3}$, ya que es el diámetro de la unidad de cubo.
Introducir coordenadas, como de costumbre, de modo que el cubo se compone de todos los puntos de $(x,y,z)$ con $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, y $0 \le z \le 1$.
En lugar de tratar de maximizar la longitud mínima, vamos a tratar de maximizar el producto de las longitudes de los lados, o mejor, el producto de los cuadrados de las longitudes. Deje que los vértices se $(x_i,y_i,z_i)$, con $i=1$, $2$, y $3$.
A continuación, una de las plazas de un lado es de $$S_3=(x_1-x_2)^2 +(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2,$$ y los otros son igualmente fáciles de escribir. Por la Media Aritmética/Media Geométrica de la Desigualdad, tenemos $$(S_1S_2S_3)^{1/3} \le \frac{S_1+S_2+S_3}{3}.$$
Tenga en cuenta que $S_1+S_2+S_3$ consta de tres términos, uno de los cuales es $$(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2$$ con los otros términos de tener la misma forma, pero con $x$ reemplazado por $y$ y $z$.
Expanda. Queremos maximizar $$2x_1^2+2x_2^2 +2x_3^2 -2x_1x_2-2x_2x_3-2x_3x_1$$ dentro de las limitaciones $0 \le x_i \le 1$.
Es fácil ver, el uso del cálculo o de otro modo, que la máxima es $2$, y por lo tanto el valor máximo de $(S_1+S_2+S_3)/3$$2$.
Así, la media geométrica del producto de los cuadrados de los lados es $\le 2$, de modo que el producto de las longitudes de los lados deben ser $\le 2\sqrt{2}$. De ello se desprende que las longitudes de los lados no puede ser todo lo $>\sqrt{2}$. Es fácil de llegar con un ejemplo donde podemos conseguir la igualdad.
Comentario: ¡Decepcionante! Yo no soy del todo feliz de ver lo que parecía un interesante problema geométrico caída de la rutina de trabajo con las desigualdades. Pero puramente geométrica prueba parece difícil a menos que uno hace una cierta cantidad de handwaving. Y como un bono que hemos obtenido un poco más fuerte resultado.
Podría ser interesante buscar geométricas preguntas que ceder a la misma técnica (respuestas buscando problemas). Las desigualdades de las que aquí se utilizan son de carácter general, por lo que debemos ser capaces de generar y responder a preguntas similares acerca de hypercubes. El hecho de que estamos tratando con triángulos no es realmente importante, siempre trabajamos con todas las distancias mutuas en un conjunto de puntos.
El triángulo equilátero con lados de $\sqrt{2}$ es máxima. Para ver esto, revisión de dos de los puntos, y mover el tercero. Es sencillo demostrar que esto es un máximo local.
No estoy seguro de que de una manera fácil demostrar que este triángulo es una máximos globales, pero el código de Mathematica o algo podría hacer. Si una solución mejor existido, sería un conocido cubo de la disección.
Estoy tratando de probar algo como esto: Indicar el cubo de $ABCDEFGH$, y supongamos que tiene un lado de longitud $1$. Supongamos que existe un triángulo en el cubo con el más pequeño del lado de mayor longitud que $\sqrt{2}$. A continuación, podemos encontrar dos esferas de radio $\sqrt{2}$ cuyos centros están en el interior del cubo y están a una distancia mayor que $\sqrt{2}$ aparte, que no cubren el cubo. Esto es debido a la existencia de un triángulo $XYZ$ dentro del cubo con el lado más pequeño $XY> \sqrt{2}$. Recogiendo las esferas centradas en $X,Y$ de radios $\sqrt{2}$, estos no cubren el cubo, ya que la $Z$ está fuera de ellos.
Tomar una variable esfera $S_P$ radio $\sqrt{2}$ y el centro de la $P$. Denotar $S_A$ la esfera de radio $\sqrt{2}$ y el centro de la $A$. El locus de $P$ tal que $A \notin S_P$ $K\setminus S_A$ donde $K$ denota el cubo. Supongamos que podemos encontrar dos esferas $S_X, S_Y$ centrada en $X,Y$ y radios $\sqrt{2}$ que no cubre el cubo y $XY >\sqrt{2}$. Si las dos esferas no cubierta del cubo, ni uno de ellos cubre el cubo, y existe un vértice(puesto que el cubo es convexa) que no está cubierto, por ejemplo,$A$. Supongamos $A \notin S_X$. A continuación,$X \in K\setminus S_A$. Dondequiera que recoger $X \in K\setminus S_A$ es fácil ver que $S_X$ cubre $K\setminus S_A$, e $S_X$ deja al descubierto en más de dos vértices, vamos a decir $A$$E$. Si $S_X$ contiene todos los vértices sino $A$ hemos terminado. A continuación, $S_X$ contiene el prisma $BCDFGH$.
En forma similar, $Y$ es cerca de $A$ o $E$, e $S_Y$ cubre $A$ $E$ y el prisma $ABDEFH$. Por lo tanto, $S_X,S_Y$ cubrir el cubo, que es una contradicción.
Siento que me estoy perdiendo algo, pero no creo que estoy lejos de ser la solución.
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