La quiralidad de (2+1)D ecuación de Dirac

Question

Hay definiciones sobre la quiralidad de (2+1)D ecuación de Dirac? Para el (3+1)D ecuación de Dirac, el campo de Dirac puede ser escrito como la suma de la mano izquierda y la mano derecha de Weyl campo. Este puede ser reducido a la dimensión inferior, por lo tanto conducir a la definición de la quiralidad de la (2+1)D o, incluso, (1+1)D?

Answer 1

No hay una buena definición de la quiralidad en (2+1)D o cualquier otra extraña dimensión. Esto es debido a que el $\gamma_5$ matriz no puede ser definido de manera útil en un álgebra de Clifford con un número impar de generadores.

Por ejemplo, tratar de definir la $\gamma_5 = \gamma^0\gamma^1\gamma^2$. Este desplazamientos (no anti-desplazamientos) con $\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2$, por lo que viajes con toda álgebra de Clifford, incluyendo cualquier cosa, como un operador de paridad. En una irreductible de la representación que va a ser un múltiplo de la identidad.

En (1+1) no hay ningún problema en la definición de la quiralidad. Una representación común de la álgebra de Clifford en términos de las matrices de Pauli es $$\gamma^0=\sigma_2$$ $$\gamma^1=-i\sigma_1,$$ Esta es una buena representación debido a $\gamma_5 = \gamma^0\gamma^1$ es diagonal y también la gamma matrices son completamente imaginarios. Es así como tanto el quirales (Weyl) la representación y el Majorana representación.

La ecuación de Dirac toma la misma forma, sólo que con menos dimensiones espacio-tiempo. $$(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi =0.$$ La etiqueta de los dos componentes de la spinor $\psi = (\psi_L,\psi_R)^T,$, a continuación, si usted escribe los componentes de la ecuación de Dirac para una masa spinor $$\partial_0 \psi_R = -\partial_1 \psi_R$$ $$\partial_0 \psi_L = +\partial_1 \psi_L,$$ que le dice $\psi_R$ es un derecho de movimiento de la onda y $\psi_L$ es de izquierda movimiento de la onda. Pero, por supuesto, si usted mantiene una masa plazo de los dos chiralities amasan (como en 3+1).