¿Por qué ponemos paréntesis absolutos para ln?

Question

Al escribir la respuesta final en $\ln$ ¿por qué es necesario poner paréntesis absolutos? ¿Cómo afecta a la respuesta?

Tengo esta respuesta de $-3\ln|\frac{3+\sqrt{9-x^2}}{x}|$ pero, ¿por qué de repente se convierte en

$3\ln|\frac{\sqrt{9-x^2}-3}{x}|$ ?

Answer 1

En este caso es exactamente lo mismo: \begin{align} \left|\frac{3+\sqrt{9-x^2}}{x}\right|^{\!-1} &= \left|\frac{x}{3+\sqrt{9-x^2}}\right|\\[2ex] &= \left|\frac{x}{3+\sqrt{9-x^2}}\frac{3-\sqrt{9-x^2}}{3-\sqrt{9-x^2}}\right|\\[2ex] &=\left|\frac{x(3-\sqrt{9-x^2})}{9-9+x^2}\right|\\[2ex] &=\left|\frac{3-\sqrt{9-x^2}}{x}\right|\\[2ex] &=\left|\frac{\sqrt{9-x^2}-3}{x}\right| \end{align} Así, $$ -3\log\left|\frac{3+\sqrt{9-x^2}}{x}\right|= 3\log\left|\frac{3+\sqrt{9-x^2}}{x}\right|^{\!-1}= 3\log\left|\frac{\sqrt{9-x^2}-3}{x}\right| $$

Por qué poner el valor absoluto al escribir $$ \int\frac{1}{x}\,dx=\log|x|+c $$ y no dejar sólo $x$ ? Porque esto funciona independientemente de que el intervalo donde se hace la integral sea un subconjunto de $(-\infty,0)$ o de $(0,\infty)$ . Sin embargo, hay que recordar siempre que dicha notación sólo tiene sentido si el integrando se considera definido en un intervalo.