Es $u,v,w$ base $\text{span}(u,v,w)$, y por qué?

Question

Vamos $u = (1, 2, 0, 1)$, $v = (1, −1, 1, 0)$, $w = (2, 4, 0, 2)$, y supongamos $W = \text{span}(u, v, w)$ es un subespacio de $\mathbb{R}^4$. Es $u,v,w$ base $W$? Por qué o por qué no?

No estoy seguro de si es o no, he reducido a forma escalonada. $$\left[ \begin{array}{cccc} 1&2&0&1\\ 0&1&-1/3&1/3\\ 0&0&0&0 \end{array} \right]$$

Pero no estoy seguro de dónde ir desde aquí.

Answer 1

Recordemos que un conjunto $\mathcal{B}$ es una base para $W$ si $Span\mathcal{B}=W$ $\mathcal{B}$ es linealmente independiente. En su problema, $\{u,v,w\}$ abarca $W$, por definición, de $W$. Así que usted sólo tiene que comprobar la linealidad de (in)dependencia de $\{u,v,w\}$. ¿Cómo se puede relacionar la independencia lineal de las filas de una matriz con el número de filas que tienen todos cero entradas en la matriz reducida de forma escalonada?

Answer 2

Sugerencia:

Los tres vectores son una base iff son linealmente independientes, pero
una simple inspección muestra que $w=2u$ (según lo confirmado por su forma escalonada de reducción), por lo que ......

Answer 3

Si $u, v, w$ son linealmente independientes, y abarcan $W$, luego forman una base.

Pero usted puede ver que no son linealmente independientes. Como su forma escalonada sugiere, $w$ podría ser convertido en un vector cero por la combinación lineal de los $u$$v$.

Para la definición de independencia lineal, marque esta wiki el artículo.

Más precisamente,

$w$ = 2$u$

Esto significa que $w$ es redundante y sólo se necesitan dos vectores es decir $u$ $v$ a describir todos los vectores del subespacio $W$.