Esto es un equivalente a la formulación de una "surjective" resp. "epimorphism"?

Question

Una $A$elemento $x$$X$, escrito $x\in_A X$, es un mapa de $x:A\to X$. Si $f$ es un mapa con el dominio $X$, e $x\in_A X$ es un elemento, podemos escribir la $f(x)$ para denotar el compuesto de $f$$x$.

Ahora dicen que un mapa de $f:X\to Y$ es cool si $$\forall A\quad \forall x, x'\in_A X\quad:\quad f(x) = f(x')\implies x = x'.$$

En la categoría de conjuntos, un mapa es genial si y sólo si es inyectiva! En cualquier categoría, un mapa es genial si y sólo es un monomorphism!

Llamar a un mapa de $f : X\to Y$ fresco si para todas las $A$, y para todos los $y\in_A Y$, hay un $x\in_A X$ tal que $f(x) = y$. Ahora sería muy bueno si, en la categoría de conjuntos, un mapa es cero si y sólo si es surjective. 1. ¿Es esto cierto? 2. También, en cualquier categoría, es un mapa de cero si y sólo si es un epimorphism?

Answer 1

Si $f$ es "fresco", entonces hay una particularmente interesante elemento que se puede considerar en $Y$ : $Y$elemento $id_Y:Y\to Y$. Ahora frescura de $f$ indica que debe ser algo de $s\in_Y X$, por lo tanto un mapa de $s:Y\to X$, de tal manera que $f(s)=id_Y$, es decir,$f\circ s =id_Y$. En otras palabras, $f$ tiene un derecho inversa; es una división epimorphism.

Por el contrario, si $f$ es una división epimorphism con derecho a la inversa $s$, entonces para todos $y\in_A Y$, $s(y)\in_A X$ es tal que $f(s(y))=y$, lo $f$ es dulce. Por lo tanto, lo que ustedes llaman "fresco" es equivalente a ser una división epimorphism. Ahora en la categoría de conjuntos, siendo una fracción de epimorphism es equivalente a ser surjective (esta es una posible forma de estado el axioma de elección), así que la respuesta a tu primera pregunta es sí. Pero en general una división epimorphism es un fuerte de la propiedad : por ejemplo, el cociente de mapa de $\Bbb Z\to \Bbb Z/n\Bbb Z$ es un epimorphism pero no un partido uno en la categoría de grupos.

Answer 2

Esto es decir que el Yoneda incrustación, aplicado a $f$, da un epimorphic transformación natural, lo que sin duda implica $f$ es un epimorphism, pero es mucho más fuerte. De hecho, esto implica $f$ es una división de la epi, como vemos por tomar $y$ a ser la identidad de $Y$ en su definición.

La diferencia con el caso de los monos es que el Yoneda incrustación refleja, pero no conserva, epis; esto se deduce de los análogos de reclamo para colimits, mientras que Yoneda preserva límites y por lo tanto monos.

En el caso de que todos los epi se divide, como en Conjunto con el axioma de elección, su condición es de hecho equivalente a $f$ epi; esto viene de manera abstracta del hecho de que la colimits que Yoneda conserva son precisamente la absoluta colimits, los que se conservan por cada functor-tales como la división de epis!