He estado jugando con un determinado subring matriz, pero hay un paso con el que estoy teniendo problemas.
Dejemos que $u=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ en $M_3(\mathbb{Q})$ y que $x=\begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & u^2\end{pmatrix}$ y $y=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , donde $0$ y $1$ son las matrices cero e identidad en $M_3(\mathbb{Q})$ , por lo que ver $x$ y $y$ en $M_6(\mathbb{Q})$ .
Dejemos que $R$ sea el subarreglo generado por $\mathbb{Q}$ , $x$ y $y$ . Entonces, ¿por qué si $x'$ es nilpotente en $R$ y $y'$ es tal que $y'^2=0$ entonces $y'x'^2=0$ ?
El trabajo de fondo que he hecho: He descubierto que $x$ y $y$ satisfacen las relaciones $$ x^3=0=y^2\qquad yx=x^2y $$ y que $\{1,x,x^2,y,xy,x^2y\}$ es una base para $R$ como $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial. El hecho anterior en cuestión demostrará que $R$ no tiene antiautomorfismos, ya que $x^2y\neq 0$ pero si $\varphi$ es algún antiautomorfismo, entonces $$ \varphi(x^2y)=\varphi(y)\varphi(x^2)=\varphi(y)\varphi(x)^2=0 $$ desde $\varphi(y)^2=0$ y $\varphi(x)$ es nilpotente como imagen del elemento nilpotente $x$ . Pero entonces $\varphi$ no es inyectiva.
