Sé que podemos probar que $\mathbb N$ es un conjunto cerrado mediante el uso del complemento de $\mathbb N$ . Desde $\mathbb R$ \ $\mathbb N$ está abierto, $\mathbb N$ debe estar cerrado.
Sin embargo, surge la pregunta: Si es así, entonces $\mathbb N$ debe contener sus puntos límite. Entonces, ¿cuáles son los puntos límite de $\mathbb N$ ? Creo que son todos los elementos de $\mathbb N$ : 1,2,3,4,5,6,... son todos puntos límite de $\mathbb N$ . Pero recordemos la definición de punto límite: x es un punto límite de $A$ si $\forall \epsilon \gt 0$ , $V_{\epsilon}(x) \cap A =$ puntos diferentes de $x$ .
Ahora toma $\epsilon = 0.5$ Entonces vemos que $V_{\epsilon =0,5}(1) \cap \mathbb N = {1}$ . Por lo tanto, TODOS los puntos de $\mathbb N$ es un punto aislado y no existe ningún punto límite: Una contradicción.
Así que, por favor, indíqueme qué hay de erróneo en mis pensamientos. Muchas gracias por su ayuda. Sólo soy un principiante en análisis real, así que por favor ayúdenme. Muchas gracias.
3 votos
¿Por qué hace esta pregunta sobre $\mathbb N$ ? No te molesta que el conjunto vacío sea cerrado, o que los conjuntos de un punto sean cerrados, o que todos los conjuntos finitos sean cerrados, pero de repente es un problema que $\mathbb N$ ¿Está cerrado? ¿A qué se debe?
0 votos
@bof: Es una observación notable.
0 votos
No sé si todos los conjuntos finitos son cerrados, y ya lo he dicho antes: Soy un estudiante de introducción al análisis real.