Solucionar $x^x=2x$ donde $x\in\mathbb C$.

Question

Solucionar $x^x=2x$ donde $x\in\mathbb C$.

Obviamente, una solución es $x=2$. Por WA, otra solución es $x=0.346...$. Cómo resolverlo analíticamente, por ejemplo, utilizando la función W de Lambert?

Gracias.

Answer 1

$$x^x=2x$$

$$=e^{x\ln x}=e^{(a+bi)(\ln|a+bi|+i(\arg(a+bi)+2k\pi))}$$

$$=e^{a\ln|a+bi|-b(\arg(a+bi)+2k\pi)}\cdot e^{bi\ln|a+bi|+ai(\arg(a+bi)+2k\pi)}$$

$$\implies {e^{a\ln|a+bi|}\over e^{b(\arg(a+bi)+2k\pi)}}=2|a+bi|$$

$$\text{and}\qquad e^{bi\ln|a+bi|+ai(\arg(a+bi)+2k\pi)}={a+bi\over|a+bi|}$$

$$\implies (a^2+b^2)^{a-1\over 2}=2e^{b\arg(a+bi)+2bk\pi}\tag 1$$

$$\text{and}\qquad\text{cis}(b\ln\sqrt{a^2+b^2}+a\arg(a+bi)+2ak\pi)=\text{cis}(\arg(a+bi)+2l\pi)\tag 2$$

$$(2)\implies \frac b2\ln(a^2+b^2)+(a-1)\arg(a+bi)=2l\pi-2ak\pi\tag 3$$

Esto es casi al punto de la evaluación de todos los números reales. Afortunadamente, muchos de los gráficos de los programas evaluará $\arctan(\tfrac ba)$ el uso de todas las ramas y correctamente evaluando por ejemplo, $x=0$ tal que $\arg(a+bi)$ pueden ser graficados como $\arctan(\tfrac ba)$. Aquí están algunos gráficos con $a$ a lo largo de la $x$-eje y $b$ a lo largo de la $y$-eje:

Como se demuestra en las fotos, hay tres soluciones reales a $x\approx -0.658, 0.346, 2$, y hay muchas soluciones complejas, uno de los cuales está cerca de la ubicación de $3+3i$.

También, tenemos dos ecuaciones para trabajar, así que podemos continuar con el análisis directo:

$$(1)\implies a^2+b^2=(2e^{b\arg(a+bi)+2bk\pi})^{2\over a-1}$$

Enchufar a $(2)$:

$$\frac b2\ln((2e^{b\arg(a+bi)+2bk\pi})^{2\over a-1})+(a-1)\arg(a+bi)=2l\pi-2ak\pi$$

$$=\frac b{a-1}(b\arg(a+bi)+2bk\pi)\ln2+(a-1)\arg(a+bi)$$

$$=\frac {b^2\ln 2+(a-1)^2}{a-1}\arg(a+bi)+\frac{2b^2k\pi\ln 2}{a-1}$$

Por desgracia, esto no se presta a cualquier avería que soy consciente de. El gráfico no es fácil de crear, desde las ramas parecen ser un casi completo cubrimiento del espacio 2D, e incluso fijando por ejemplo, $k=1$ sólo lo hace para confundir gráficos que no corresponden a las soluciones identificadas anteriormente.