Mi pregunta es sobre la convergencia de la suma de Riemann, cuando el valor de los espacios son de cuadrado integrable variables aleatorias. La convergencia depende de la evaluación punto que elegir, ¿por qué es el caso. Aquí hay algunos antecedentes para hacer esto más claro.
Supongamos $f\colon \Re \mapsto \Re $ es alguna función continua en $[a,b]$, la integral de Stieltjes $f$ con respecto a sí mismo $f$ $\int^{b}_{a} f(t)df(t)$
si tomamos una partición $ \Delta_n = \{t_0, t_1, \cdots, t_n \}$ $[a,b]$ el Riemmans sumas es
$$ L_{n} = \sum^{n}_{i=1} f(t_{i-1})(f(t_{i})-f(t_{i-1})) $$
Ahora bien, si el límite existe decir $\lim \limits_{n\to\infty} L_{n}= A$, entonces si se elige el punto de evaluación $t_{i}$ a la suma
$$ R_{n} = \sum^{n}_{i=1} f(t_{i})(f(t_{i})-f(t_{i-1})) $$
también convergen a$A$, por lo que
$$\lim_{n\to\infty}L_{n} = \lim_{n\to\infty}R_{n} .$$
Ahora aplicamos la misma idea de una integral estocástica. Aquí $W(t)$ es un proceso de wiener y queremos encontrar
$$\int^{b}_{a}W(t)dW(t) $$
$$ L_{n} = \sum^{n}_{i=1} W(t_{i-1})(W(t_{i})-W(t_{i-1})) $$
$$ R_{n} = \sum^{n}_{i=1} W(t_{i})(W(t_{i})-W(t_{i-1})) $$
en $L^2$ norma de los límites de $L_{n}$ $R_{n}$ existen pero son diferentes
$$\lim_{n\to\infty} \Vert R_{n}-L_{n}\Vert = b-a $$
alguien puede explicar por qué los límites son diferentes ? Si el límite existe, que en este caso se hace. Yo habría esperado $\lim_{n\to\infty} \Vert R_{n}-L_{n}\Vert = 0 $ $L^2$ norma.
Respuestas
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Primera escritura $$ R_n - L_n = \sum\limits_{i = 1} ^ n {[W (t_i) - W (t_ {i - 1})] ^ 2}, $$ entonces considerar variación cuadrática de movimiento browniano.
Los límites de $R_n$ $L_n$ coinciden cuando Stieltjes integral existe. La existencia de la integral de Stieltjes no se sigue la existencia de estos límites. En general, la existencia y la definición de la integral de Stieltjes puede ser un asunto complicado como el de la Figura 2.1 en la página 6 (página 10 del archivo ps) de este documento puede atestiguar.
Sugerencia 1:
La base de la explicación está en el diferente comportamiento de los incrementos de $f(t_i)-f(t_{i-1})$$W(t_i)-W(t_{i-1})$. Los incrementos de la primera se $O(t_i-t_{i-1})$ los de la segunda son las $O(\sqrt{t_i-t_{i-1}})$.
Sugerencia 2: $$R_n - L_n =\sum_{i=1}^n \left[ f(t_i)-f(t_{i-1}) \right]^2$$ and likewise for $W(t)$.
