Si$x \not \equiv 1 \pmod 3$, ¿cuándo es$x^2 + x +1$ no un primo?

Question

Si$x \not\equiv1 \pmod 3$, ¿cuándo es$x^2 + x + 1$ no un primo?

Estoy especialmente interesado en un ejemplo que no sea primo o incluso mejor, una explicación de por qué la frecuencia de tales números primos disminuye a medida que$x$ aumenta.

Answer 1

Deje $f(x)=x^2+x+1$.

• Usted ver que $f(2)=7$. Esto implica que $f(n)$ es divisible por $7$ siempre $n\equiv2\pmod7$. Esto es básico congruencia álgebra - al salir de la prueba como un ejercicio. De todos modos, sabemos que $f(9)=91$ $f(16)=273$ et cetera no pueden ser primos, porque son divisible por siete.
• Del mismo modo $f(3)=13$ implica que el $f(n)$ es divisible por $13$ siempre $n\equiv3\pmod{13}$, e $f(n)$ es divisible por $31$ siempre $n\equiv5\pmod{31}$.

Se puede continuar la lista anterior. Es sólo mostrando el mecanismo que impide que cualquier polinomio con coeficientes enteros de la producción de sólo números primos como sus valores.

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Una forma diferente de ver esto es a través de la reciprocidad cuadrática. El discriminante de $f(x)$$D=-3$. La ley de la reciprocidad cuadrática revela que $-3$ es un residuo cuadrático módulo de un primer $p>3$, iff $p\equiv1\pmod3$. Así podemos encontrar un entero $n$ en el rango $0<n<p$ tal que $f(n)$ es un múltiplo de a $p$ (posiblemente igual a $p$). A continuación, $f(n+kp)$ será un mayor múltiplo de $p$ cualquier $k>0$, y, por tanto, no de una prima.

Answer 2

si$$x\equiv 0\mod 3$$ we can set $$x=3m$ $ tapando esto en su término obtenemos$$9m^2+3m+1$$ and this is not a prime for $$m=6$$, we get $$343=7^3$ $ si$$x\equiv 2\mod 3$$ we can set $$x=3m+2$$ and our term is $$9m^2+15m+7$$ and this is surely not prime if $$m=7$ $

Answer 3

Al pasar los cuadrados principales como en los valores de resultado, cada vez más primos pueden estar involucrados en cualquier posible resultado compuesto.

Los primeros dos valores compuestos de$91 = 7 \cdot 13$ y$133 = 7 \cdot 19$ muestran que cuando$x \equiv \{2, 4 \} \bmod 7$ obtendrá un resultado divisible por$7$.

Answer 4

Supongamos que$x^2 + x + 1$ es un primer$p$% que no sea$p = 3$. Entonces$4p - 3$ es un cuadrado; por ejemplo, para$p = 31$,$4p - 3 = 124 - 3 = (11)(11)$. Por el contrario, si$4p - 3$ es un cuadrado para$p$ a primo, hay un divisor$x$ de$p - 1$ tal que$p = x^2 + x + 1$. El complemento de$x$,$\frac{p - 1}{x}$, es$x + 1$. Con y $p = 31$. Tenga en cuenta que, dado que$x = 5$,$\frac{p - 1}{x} = 6$ no puede ser congruente con 1 mod 3, a menos que$x(x + 1) = p - 1$. Por lo tanto, la respuesta es que$x$ no es primo exactamente cuando$p = 3$ no es un cuadrado.