Asignación:
Deje $-\infty < a < b < \infty$ $f: (a,b) \rightarrow (0,\infty)$ ser medibles, de tal manera que $f$ $\frac{1}{f}$ son Lebesgue integrable. Demostrar la siguiente desigualdad: $$\int_{(a,b)}f\ d\lambda\cdot\int_{(a,b)}\frac{1}{f}d\lambda≥(b-a)^2$$ Sugerencia: Considerar la integral $$\int_{(a,b)^2}\frac{f(x)}{f(y)}+\frac{f(y)}{f(x)} \ d\lambda_2(x,y)$$
Pensamientos: Tenemos un teorema que dice que por un integrable secuencia de funciones $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ que la nueva función de $f(x_1,...,x_n) = f_1(x_1)\ \cdot...\cdot\ f_n(x_n)$ define como el producto de las funciones individuales es integrable, así como con el valor de la integral de $f$ siendo el producto de las integrales de $f_n$. Este método se obtiene la igualdad, ya que, creo que, de hecho, me suponga $x_1 = x_2$ y no dejes que el $x_i$ variar.
Acerca de la sugerencia: La sugerencia, pensé, sugiere el uso de Fubini, pero desde $f$ es aleatorio, no puedo simplificar la integral en todos. También, usando el teorema de la que me he referido anteriormente, sólo los rendimientos, que la integral de la pista es el lado izquierdo de la desigualdad veces dos, que no ayuda en absoluto.
Estoy atascado en un callejón sin salida ahora mismo, podría alguien darme sugerencia (o explicar la sugerencia dada)?
