Demuestre que$\frac1{2^i}\sum\limits_{j=0}^i|2j-i| \binom{i}{j} \leq d\sqrt{i}$ para alguna constante$d$

Question

Estoy tratando de dar un límite en la siguiente fórmula:$$\frac1{2^i}\sum_{j=0}^i|2j-i| \binom{i}{j} \leq d\sqrt{i}$$ for some constant $ d $.

Esto es lo lejos que llego:$$=\dfrac{\sum^{i/2}_{j=0} \ \binom{i}{j} (i - 2j) + \sum^{i}_{j=(i/2)+1} \ \binom{i}{j} (2j - i)}{2^i}$ $$$\leq \dfrac{2\sum^{i/2}_{j=0} \ \binom{i}{j} (i - 2j)}{2^i}$ $ Si tomo la suma de j = 0 a i en lugar de i / 2, entonces la suma sería 0. Entonces, debería usar otra forma de límite superior esta fórmula.

Answer 1

Intento seguir con tu enfoque. \begin{align} \sum_{j=0}^i|2j-i| \binom{i}{j} &=2\sum_{j=0}^{\lfloor i/2\rfloor}(i-2j) \binom{i}{j}\\ &=2i\sum_{j=0}^{\lfloor i/2\rfloor}\binom{i}{j}-4\sum_{j=0}^{\lfloor i/2\rfloor}j\binom{i}{j}\\ &=2i\sum_{j=0}^{\lfloor i/2\rfloor}\binom{i}{j}-4i\sum_{j=1}^{\lfloor i/2\rfloor}\binom{i-1}{j-1}\\ &=2i\sum_{j=0}^{\lfloor i/2\rfloor}\binom{i}{j}-4i\sum_{j=0}^{\lfloor i/2\rfloor-1}\binom{i-1}{j}\\ &=2i\binom{i}{\lfloor i/2\rfloor}+2i\sum_{j=0}^{\lfloor i/2\rfloor-1}\underbrace{\left(\binom{i-1}{j-1}-\binom{i-1}{j}\right)}_{\leq 0}\\ &\leq 2i\binom{i}{\lfloor i/2\rfloor}. \end {align} Ahora muestre que la desigualdad se cumple para$d=2$ (soy consciente de que la prueba de una línea en el comentario de Did muestra que$d=1$ es suficiente).

Queda por mostrar que para$i\geq 1$,$$2i\binom{i}{\lfloor i/2\rfloor}\leq 2 \cdot 2^i\sqrt{i}\quad\text{or}\quad \binom{i}{\lfloor i/2\rfloor}\leq \frac{2^i}{\sqrt{i}}.$ $

PD Eche un vistazo aquí: Estimaciones del coeficiente binomial central elemental