Demuestra que $\sqrt{8}=1+\dfrac34+\dfrac{3\cdot5}{4\cdot8}+\dfrac{3\cdot5\cdot7}{4\cdot8\cdot12}+\ldots$

Question

Demuestra que $\sqrt{8}=1+\dfrac34+\dfrac{3\cdot5}{4\cdot8}+\dfrac{3\cdot5\cdot7}{4\cdot8\cdot12}+\ldots$

Mi trabajo:
$\sqrt8=\bigg(1-\dfrac12\bigg)^{-\frac32}$

Ahora, supongo que hay alguna "expansión binomial con coeficientes racionales" o algo similar para esto, lo cual desconozco. Por favor ayuda.

N.B.: Cualquier otra solución también es aceptable, no tengo ninguna restricción sobre la solución.

Answer 1

La serie binomial es "simplemente" la serie de Taylor de $(1+x)^{\alpha}$ en $x=0$.

Empiezas a derivar $f(x)=(1+x)^{\alpha}$ en función de $x$ y obtienes $\alpha(1+x)^{\alpha-1}$, luego $\alpha(\alpha-1)(1+x)^{\alpha-2}$ para la primera derivada, etc. La $n$-ésima derivada es

$$\frac{d^n}{dx^n} (1+x)^{\alpha} = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)(1+x)^{\alpha-n}$$

Entonces, la serie de Taylor es

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n= \sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^n$$

Si $\alpha$ es un número entero no negativo, esta serie se convierte en una suma finita y el coeficiente $n$-ésimo es simplemente ${\alpha\choose n}$, por lo que tiene sentido llamarlo un "coeficiente binomial generalizado" y denotarlo con el mismo símbolo, incluso si $\alpha$ no es un número entero no negativo.

Ahora nota que la serie de Taylor tiene radio de convergencia $1$ y que $(1+x)^{\alpha}$ es real-analítica, por lo tanto

$$(1+x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^\infty {\alpha\choose n} x^n$$

para todo $|x|<1$, en particular, para $x=-\frac{1}{2}$ y $\alpha=-3/2$. Ahora nota que $${-3/2\choose n}=\frac{(-1)^n}{n!2^n} 3\cdot 5\cdots (2n+1)$$

Entonces,

$$\begin{align} \sqrt{8} &=(1-1/2)^{-3/2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!2^n} 3\cdot 5\cdots (2n+1) \frac{1}{(-2)^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{3\cdot 5\cdots (2n+1)}{n! 4^n}\\ &= 1 + \frac{3}{4} + \frac{3\cdot 5}{4\cdot 8} + \frac{3\cdot 5\cdot 7}{4\cdot 8\cdot 12} + \cdots \end{align} $$

Answer 2

Se puede mostrar que $\displaystyle (1 + x)^{\alpha} = \sum_{n = 0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}x^n$ cuando $|x| < 1$. Sin embargo, esto no es realmente precálculo...

EDICIÓN: Agregaré una prueba para la suma:

Sea $s(x)$ la suma de la serie. Entonces

$\begin{align} (1 + x)s'(x) &= (1 + x)\sum_{n = 0}^{\infty} n\binom{\alpha}{n}x^{n-1} \\ &= \sum_{n = 0}^{\infty} (n+1)\binom{\alpha}{n+1}x^n + \sum_{n = 0}^{\infty}n\binom{\alpha}{n}x^n \\ &= \sum_{n = 0}^{\infty} \left[(n+1)\binom{\alpha}{n+1} + n\binom{\alpha}{n}\right]x^n \\ &= \alpha \sum_{n = 0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}x^n = \alpha \; s(x) \end{align}$

Además, sea $f(x) := (1+x)^{-\alpha} s(x)$. Entonces

$\displaystyle f'(x) = -\alpha(1+x)^{-\alpha - 1} s(x) + (1+x)^{-\alpha} s'(x) = -(1+x)^{-\alpha} s'(x) + (1+x)^{-\alpha} s'(x) = 0$

lo cual implica que $f(x)$ es constante. Dado que $f(0) = 1$, tenemos $f(x) = 1$ y por lo tanto $(1+x)^{-\alpha} s(x) = 1$. Multiplicamos ambos lados por $(1+x)^{\alpha}$ y listo.