Prueba de que $H^{0,1} \oplus H^{1,0} = H_{DR}^1$

Question

Estoy luchando con una demostración de Superficies de Riemann de Donaldson que deja como ejercicio. queremos construir un isomorfismo a partir de la suma directa de $H^{1,0}(X)$ el conjunto de formas holomorfas 1 en una superficie de riemann $X$ , sumado directamente con $H^{0,1}$ los cosets de $\overline{\partial}$ -formas cerradas de 1 módulo $\overline{\partial}$ -formas exactas. (alternativamente, la primera cohomología de gavilla $H^1(\mathscr{O})$ de funciones holomorfas).

El isomorfismo que construimos es éste: sabemos que la conjugación induce un mapa (e isomorfismo de $H^{1,0}$ a $H^{0,1}$ de un representante de una clase en $H^{0,1}$ a una forma 1 holomorfa y viceversa. Definimos un mapa $\phi$ de las 1-formas holomorfas a sus clases de cohomología de-rham. ahora tomamos el mapa $\Psi(\alpha, [\beta]) = \phi(\alpha) + \overline{\phi(\overline{\beta'})}$ donde $\beta'$ es un representante de $\beta$ .

Sin embargo, no estoy seguro de cómo demostrar que se trata de un isomorfismo.

Answer 1

Esto se desprende de la descomposición de Hodge, que permite ver la primera cohomología de Rham como el conjunto de formas armónicas 1. El mapa que se discute puede verse como $\Omega^{1,0} \oplus \overline{\Omega^{1,0}} \rightarrow \mathscr{H}^{(1)}$ . Se trata entonces de un mapa canónico, y se puede ver que es un isomorfismo con bastante facilidad.

Answer 2

En respuesta al comentario del usuario264059, la descomposición que presentaste en tu post original es generalmente se llama la descomposición de Hodge, por lo que no está muy claro lo que se busca aquí. (¿Una prueba más directa de la descomposición de Hodge que qué?)

Dicho esto, hay varios enfoques.

La teoría de las EDP elípticas proporciona una prueba de la descomposición de Hodge en cualquier colector de Kähler, en particular en una superficie compacta de Riemann. Véase la obra de Griffiths-Harris Principios de geometría algebraica o el de Voisin Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja por ejemplo.

Existen pruebas más sencillas de la descomposición de Hodge en una superficie de Riemann basadas en la resolución de la ecuación $\Delta f = g$ , donde $\Delta$ es el operador de Laplace. Véase, por ejemplo, Donaldson's Superficies de Riemann (como ya ha mencionado) o la de Narasimhan Superficies compactas de Riemann .

El hecho de que $\dim H^{1,0} = g$ implica fácilmente la descomposición de Hodge, y esto se deduce del teorema de Riemann-Roch. Normalmente este hecho se utiliza en la demostración de Riemann-Roch, por lo que se trata de un razonamiento circular, pero es posible demostrar Riemann-Roch directamente tras resolver primero el problema de Dirichlet en superficies de Riemann con límite. Reyssat Algunos aspectos de las superficies de Riemann adopta este enfoque.