¿Cuántas raíces puede tener un polinomio $f \in K[x_1, x_2, \dots , x_n]$ donde $K$ es un campo finito y el máximo exponente de $x_i$ en cualquier término es $m$ para todos $i$ ¿Suponiendo que no todos los coeficientes son cero?
He encontrado esta pregunta relacionada pero realmente me interesa el peor de los casos; no tendré ninguna "condición de singularidad", necesariamente.
He aquí una idea:
Ver $f$ como un polinomio sobre $(K(x_2, \dots , x_n))[x_1]$ , donde $K(x_2, \dots , x_n)$ es el campo de fracciones de $K[x_2, \dots , x_n]$ . Al menos un coeficiente de $f$ cuando se ve de esta manera es distinto de cero. Ahora $f$ tiene como máximo $m$ raíces, ya que su único indeterminado, $x_1$ tiene como máximo el exponente $m$ . Para cada uno de estos $m$ raíces $y_{1,1}, y_{1,2}, \dots, y_{1,m}$ y cualquier $x_2, \dots, x_n$ , $f(y_{1,j}, x_2, \dots, x_n) = 0$ . Hay $m k^{n-1}$ tuplas de esta forma, donde $k$ es el tamaño de $K$ .
Además, para cada $v \in K$ , $f(v, x_2, \dots, x_n)$ es un polinomio en $n-1$ variables. Para el $v$ s que no son raíces de $f$ cuando se ve como arriba, $f(v, x_2, \dots, x_n)$ tiene al menos un coeficiente distinto de cero. Esto establece una ecuación inductiva:
$$ c(n) \leq \begin{cases} m & n = 1\\ m k^{n-1} + k c(n-1) & n > 1 \end{cases} $$
Con solución
$$ c(n) \leq n m k^{n-1} $$
Por otro lado, dejemos que $f_i$ sea un polinomio de grado $m$ en $K[x_i]$ con $m$ raíces distintas. Entonces $\prod f_i$ tiene al menos $n m (k-m)^{n-1}$ raíces distintas.
¿Esto es correcto? ¿Podemos tener límites más estrictos?
