Me di cuenta de que estoy muy confundido acerca de un determinado signo en la definición de un grupo de Poisson. Voy a dar algunas definiciones y, a continuación, señalar mi confusión.
Definiciones
Grupo de objetos
Deje $\mathcal C$ ser una categoría con productos Cartesianos. Recordemos que un grupo de objetos en $\mathcal C$ es un objeto $G \in \mathcal C$ junto con los mapas de $e: 1\to G$ $m: G\times G \to G$ (a elegir un objeto inicial $1$ y una instancia en particular de la categoría de producto, y que implica a todos los demás), de tal manera que (i) los dos mapas de $G^{\times 3} \to G$ está de acuerdo, (ii) los tres naturales de los mapas de $G\to G$ está de acuerdo, y (iii) el mapa $p_1 \times m: G^{\times 2} \to G^{\times 2}$ es un isomorfismo, donde $p_1$ es el "proyecto sobre el primer factor," mapa de $G^{\times 2}\to G$.
Puede ser utilizado a ver axioma (iii) presentado de forma ligeramente diferente. Es decir, si $p_1 \times m: G^{\times 2} \to G^{\times 2}$ es un isomorfismo, entonces considere el mapa de $i = p_2 \circ (p_1\times m)^{-1} \circ (e\times \text{id}) : G = 1\times G \to G$. Satisface los habituales de los axiomas de la inversa del mapa. Por el contrario, si $i: G\times G$ satisface la costumbre axiomas, a continuación, $p_1 \times (m \circ (i\times \text{id}))$ es una inversa de a $p_1 \times m$. Me enteré de esta alternativa de presentación de Chris Schommer-Pries.
Poisson colectores
Un múltiple de Poisson es un buen colector $M$ junto con un suave bivector campo, es decir, una sección de $\pi \in \Gamma(\wedge^2 TM)$, la satisfacción de un axioma. Recordar que si $v\in \Gamma(TM)$, $v$ define un (lineal) mapa de $C^\infty(M) \to C^\infty(M)$ mediante la diferenciación en el sentido de $v$. Bueno, si $\pi \in \Gamma(\wedge^2 TM)$, asimismo, se define un mapa de $C^\infty(M)^{\wedge 2} \to C^\infty(M)$. El axioma establece que este mapa es una Mentira de los soportes, es decir, se satisface la identidad de Jacobi.
Una de morfismos de Poisson colectores es un buen mapa de colectores tal que la inducida por el mapa en $C^\infty$ es una Mentira álgebra homomorphism.
La categoría de Poisson colectores tiene productos (Wikipedia).
Poisson grupos
Un Grupo de Poisson es un colector $G$, con una estructura de grupo de Lie $m : G\times G \to G$ y una estructura de Poisson $\pi \in \Gamma(\wedge^2 TG)$, de tal manera que $m$ es una de morfismos de Poisson colectores. Recordemos que una Mentira grupo $G$ es un objeto de grupo en la categoría de suave colectores.
Recordemos también que una Mentira grupo es casi totalmente controlado por su Mentira álgebra $\mathfrak g = T_eG$. Entonces, no es sorpresa que la estructura de Poisson puede ser descrito infinitesimalmente. De hecho, por la izquierda-a la traducción, identificar a $TG = \mathfrak g \times G$. Considerar el adjunto acción de $G$ sobre el abelian Mentira grupo $\mathfrak g$. Entonces podemos definir una estructura de grupo de Lie $\mathfrak g^{\wedge 2} \rtimes G$$\wedge^2 TG$. Recordemos que una sección de $\pi \in \Gamma(\wedge^2 TG)$ es sólo un colector map $G \to \wedge^2 TG$ que se divide la proyección de $\wedge^2 TG \to G$. Luego de Poisson colector $(G,\pi)$ es de Poisson grupo si y sólo si $\pi : G \to \wedge^2 TG$ es un mapa de la Mentira de los grupos.
Por lo tanto, una distribución de Poisson la estructura del grupo es precisamente el mismo que una Mentira álgebra $d\pi : \mathfrak g \to \wedge^2 \mathfrak g \rtimes \mathfrak g$ la división de la evidente proyección (aquí $\wedge^2 \mathfrak g$ es un abelian Mentira álgebra, y $\mathfrak g$ actúa sobre ella a través de adjuntos de acción), y tal que $(d\pi)^* : \wedge^2\mathfrak g^* \to \mathfrak g^*$ satisface la identidad de Jacobi. (Cualquier error de $G$ a ser simplemente conectado, lo que podría impedir un mapa de elevación, también se produce un error en $\wedge^2 TG$, por lo que esto realmente es un uno-a-uno la identificación de Poisson de las estructuras de grupo en $G$ y "Mentira bialgebra" estructuras en $\mathfrak g$.)
Desde esta perspectiva, entonces, es más o menos claro que la inversa de mapa de $i:G\to G$ no es un morfismos de Poisson colectores (Wikipedia). De hecho, infinitesimalmente, $di = -1: \mathfrak g \to \mathfrak g$, que se lleva a $d\pi$ $-d\pi$($d\pi$ tiene un $\mathfrak g$ a la izquierda y dos a la derecha). En su lugar, $i$ es un "anti-Poisson mapa". El monoid $(\mathbb R,\times)$ actúa en la categoría de Poisson colectores por no hacer nada para el subyacente suave colectores y reescalando la distribución de Poisson estructuras; una suave mapa es anti-Poisson si se hace de Poisson después de torcer por la acción de la $-1$.
La unidad de mapa $e: 1 \to G$, por otro lado, es de Poisson; se deduce de los axiomas de Poisson grupo que $\pi(e) = 0$, y la terminal de objeto en la categoría de Poisson colectores es $1 = \{\text{pt}\}$ con el trivial de Poisson de la estructura. ($C^\infty(\{\text{pt}\}) = \mathbb R$ sólo puede apoyar esta estructura de Poisson.)
Mi pregunta
Supongamos que $G$ es un grupo de Poisson. A continuación, $p_1 \times m: G^{\times 2} \to G^{\times 2}$ es un mapa de Poisson, y un isomorfismo de suave colectores. Por lo tanto, yo esperaría que es un isomorfismo de Poisson colectores. Por otro lado, en la primera sección anterior he construido la inversa mapa de $i : G\to G$ fuera de este isomorfismo y la otra de la estructura de los mapas, todos los cuales son de Poisson al $G$ es un grupo de Poisson. Y, sin embargo, $i$ no es un mapa de Poisson. Así que a donde voy mal?
