Necesita probar$f$ continuo en$x_0$ iff para cada secuencia monotónica$(x_n)$ que converge a$x_0$ tenemos$\lim f(x_n)=f(x_0)$

Question

Este fue un problema que el Profesor entró en la clase, pero estoy teniendo problemas para entender y terminar la prueba. La pregunta completa es:

$f:I \rightarrow \mathbb R$ es continua en a $x_0 \in I$ si y sólo si para cualquier monótona secuencia $x_n$, $x_n \rightarrow x_0$ tenemos $f(x_n) \rightarrow f(x_0)$

Esta es su solución (voy a mencionar donde estoy confundido):

Sabemos que para cada secuencia monótona de $$(x_n) \rightarrow x_0, f(x_n) \rightarrow f(x_0)$$ Quiere demostrar que $$x_n \rightarrow x_0 \implies f(x_n) \rightarrow f(x_0) $$ para cualquier $x_n$. Con $x_n \rightarrow x_0$ sabemos que existe una monótona convergente larga $$x_{n_k} \rightarrow x_0 .$$ Now we want to show $\{f(x_n)\}_n$ es de Cauchy.

(¿De dónde vienen? ¿Por qué esta necesidad de ser demostrado? Por lo que yo entiendo, $\{f(x_n)\}_n$ es un subsequence de la función $f$? O sería esto técnicamente se llama una subfunción? No sé si es que existe tal cosa)

Para cualquier $\epsilon > 0, \exists N_{\epsilon}$ tal que $$|f(x_m)-f(x_n)|<\epsilon \quad for \quad m,n>N_{\epsilon} $$ Si no, $\exists \epsilon_0, \forall N\in \mathbb R$ tal que $$|f(x_m)-f(x_n)|\geq \epsilon \quad for \quad some \quad m,n>N$$

Se supone que debo terminar la prueba demostrando que $\{f(x_n)\}_n$ es de Cauchy, pero no estoy seguro de cómo hacer esto y no sé por dónde empezar. Lo siento si la pregunta implica un montón de explicar, no es una tarea problema a ser entregado, pero necesito entender lo que está pasando (si puedo mostrar es de Cauchy, sin embargo, me pongo un poco de crédito adicional, por favor no me des la respuesta del palo).

Gracias por la ayuda! Esta función\continuidad en el capítulo de verdad me ha rascándome la cabeza.

Answer 1

Tengo una prueba de que el resultado aquí, no a través de Cauchy. Se apela a este lema:

Lema: $x_n$ converge a $x$, si y sólo si, para cada subsequence $x_{n_k}$, existe un sub-subsequence tal que $x_{n_{k_l}}$ converge a $x$

Prueba: ver este hilo, y recordar que la compacidad no es necesario, como se muestra por Ragib Zaman la respuesta.

Tomamos cualquier secuencia $x_n$ converge a $x$, luego de tomar cualquier subsequence de $x_n$, se $x_{n_k}$, $x_{n_k}$ tiene un tono monótono subsequence $x_{n_{k_l}}$, de tal manera que $f(x_{n_{k_l}})$ converge a $f(x)$

Luego de considerar $f(x_n)$ para cualquier secuencia $x_n$ convergentes a $x$, para cualquier subsequence $f(x_{n_k})$, tiene un sub-subsequence $f(x_{n_{k_l}})$ converge a $f(x)$. Ahora vamos a utilizar el lema, hemos mostrado $f(x_n)$ converge a $f(x)$, para la elección de la secuencia de $x_n$ convergentes a $x$.

Answer 2

No estoy del todo seguro si esto es lo que estás preguntando, pero aquí tienes de todos modos. Tenga en cuenta que $\{f(x_n)\}$ es sólo una secuencia de números reales. Es de tomar todas las $x_n$ de una secuencia dada y conectarlos a la función de $f$ para obtener una nueva secuencia de números reales. Por ejemplo, si $f(x) = x^2 + x$, e $\{x_n\}$ es la secuencia definida por $x_n = 1/n$ todos los $n$, $\{f(x_n)\}$ es la secuencia de los números reales con a $\{f(x_n)\} = \{1/n^2 + 1/n\}$.

Así que teniendo en cuenta de este hecho, la razón por la que queremos mostrar a $\{f(x_n)\}$ es de Cauchy es debido al hecho de que una secuencia de números reales convergencias si y sólo si es de Cauchy. Así que con el fin de mostrar que el $\{f(x_n)\}$ converge a un límite, es suficiente para mostrar que es de Cauchy.

Tenga en cuenta que muestra una secuencia de Cauchy no da necesariamente lo que la secuencia converge a! Sin embargo, en este caso, si $\{f(x_n)\}$ es de Cauchy, entonces debe converger a $f(x_0)$ ya que sabe que a la larga $f(x_{n_k}) \to f(x_0)$ por supuesto.

Se puede aplicar el lema mencionado por @Lost1 para mostrar en los hechos es de Cauchy.