Supongamos que tenemos esta métrica y quiere encontrar null caminos:
$$ds^2=-dt^2+dx^2$$
Fácilmente podemos tratar a $dt$ $dx$ "como" las diferencias en el cálculo y obtener para $ds=0$
$$dx=\pm dt \to x=\pm t$$
Ahora cambie a la más abstracta y rigurosa de una de las formas en diferenciables colectores.
Aquí $$\mathrm{d}t (v)$$ is a one-form that takes a tangent vector from $T_p$ and returns a real number, $\mathrm {d}t(v) \in \mathbb {R}$.
El vector tangente a una curva $x^{\mu}(\lambda)$ en base a la $\partial_\mu$ es
$$v=\frac {dx^\mu}{d\lambda}\partial_\mu$$
Ahora aplicar el formulario para este vector
$$\mathrm {d}t(\frac {dx^\mu}{d\lambda}\partial_\mu)=\frac{dx^\mu}{d\lambda}\mathrm {d}t(\partial_\mu)$$ $$ =\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac {\partial t}{\partial x^\mu}$$ $$=\frac {dt}{d\lambda}$$
Ahora por encima de la métrica, en términos de las formas de leer
$$0=-\mathrm {d}t^2(v,v)+\mathrm {d}x^2(v,v)=-\mathrm {d}t(v)\mathrm {d}t(v)+\mathrm{d}x(v)\mathrm {d}x(v)$$
$$=-(\frac {dt}{d\lambda})^2+(\frac {dx}{d\lambda})^2$$
Si utilizamos la regla de la cadena $$\frac {dx}{dt}=\frac {dx}{d\lambda}\frac {d\lambda}{dt}$$
Tenemos, finalmente, obtener $$dx=\pm dt \to x=\pm t$$
El de arriba es de Carroll en la página 77. Él nos recuerda que debemos atenernos a la segunda más formal-formas, que no es el uso de diferenciales como en el cálculo, porque en el primer acceso directo que hemos "descuidadamente" no hacer la distinción entre"$\mathrm {d}t^2(v)$$dt^2$.
Ahora mi pregunta es que por favor alguien puede dar un ejemplo que a diferencia del ejemplo anterior, el tratamiento de la uno-la forma en la diferenciable colectores como un diferencial en el cálculo de hecho va a producir resultados incorrectos o conclusiones.
