Si$A=Ae\oplus A(1-e)$, ¿es$e$ un idempotente no trivial?

Question

Mi libro dice "es fácil ver que$A$ (un anillo conmutativo) tiene un idempotent$e\neq 0,1$ si y solo si es una suma directa de anillos$A=A_1\oplus A_2$ con$A_1=Ae$ y$A_2=A(1-e)$. "

Conozco la implicación$\implies$, pero si$A=Ae\oplus A(1-e)$, ¿por qué es$e$ un idempotente no trivial? Intenté escribir$e=ae+b(1-e)$ para$a,b\in A$ y cuadrar, pero nada se cancela correctamente. También intenté calcular$e(1-e)$ con$1-e=1-ae-b(1-e)$, pero de nuevo, nada se cancela muy bien.

Answer 1

Esto está bien, creo. Si$A = Ae \oplus A(1-e)$, entonces considere$e(1-e) = (1- e)e.$ Esto está en$Ae \cap A(1-e) = \{ 0\},$ entonces debemos tener$e(1-e) =0$ y por lo tanto$e = e^2.$ Creo que debería requerir tanto$Ae$ y $A(1-e)$ para que no sea cero, sin embargo, estrictamente hablando para excluir$e \in \{0,1 \}.$