Considera el anillo$\mathbb{Z}_3$ de enteros 3-adic. ¿Existe un número entero positivo$n$ y una solución a$(X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_{n - 1}^2)^2 = 2X_n^4$ en$\mathbb{Z}_3^n$? Si es así, ¿cuál es el$n$ más pequeño para el que existe una solución?
Respuesta
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No hay soluciones con$X_n \neq 0$, para luego dividir entre$X_n^4$ se obtendría que$2$ es un cuadrado en$\mathbb{Q}_3$ ... que no es así.
Las soluciones con$X_n = 0$ corresponden a tuplas$(X_1,\ldots,X_{n-1})$, de modo que$X_1^2 + \ldots + X_{n-1}^2 = 0$, es decir, queremos que la suma de$n-1$ - squares sea una forma cuadrática isotrópica. Esto ocurre sobre$\mathbb{Z}_3$ (equivalentemente, sobre$\mathbb{Q}_3$) iff$n-1 \geq 3$.
