Integral de función racional - ¿qué contorno utilizar?

Question

Evaluar:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac {x}{(x^2+2x+2)(x^2+4)}$ $

Encontré que el integrando se puede extender a una función en un plano complejo tiene polos simples en$\pm 2i$ y$-1\pm i$. Ahora quiero calcular la integral por integración de contorno, pero no puedo asumir ningún contorno aquí.

Discúlpeme, si mi enfoque es incorrecto.

Answer 1

Sugerencia: utilice la mitad superior plana como contorno y la descomposición de la fracción$$\dfrac{z}{(z^2+2z+2)(z^2+4)}=\dfrac{1}{10}\frac{z-2}{z^2+2z+2}-\dfrac{1}{10}\frac{z-4}{z^2+4}$ $ then$$\dfrac{1}{10}\int_C\frac{z-2}{z^2+2z+2}-\frac{z-4}{z^2+4}dz=\dfrac{2\pi i}{10}\left(\operatorname*{Res}_{z=i-1}\frac{z-2}{z^2+2z+2}-\operatorname*{Res}_{z=2i}\frac{z-4}{z^2+4}\right)=\dfrac{2\pi i}{10}\left(\frac{i-3}{2i}-\frac{2i-4}{4i}\right)=\color{blue}{-\dfrac{\pi}{10}}$ $

Answer 2

Sugerencia:$$\frac {x}{(x^2+2x+2)(x^2+4)}=\frac{1}{10}\frac{x-2}{x^2+2x+2}- \frac{1}{10}\frac{x-4}{x^2+4}$ $

Answer 3

El cálculo de los residuos conduce a la descomposición de la fracción parcial

$$ \frac{x}{(x^2+2x+2)(x^2+4)}=\frac{1}{10}\left[\frac{4-x}{x^2+4}+\frac{x-2}{x^2+2x+2}\right] $ $ y ahora no tiene que elegir ningún contorno, ya que$$\int_{\mathbb{R}}\frac{4\,dx}{x^2+4}=2\pi,\qquad \int_{\mathbb{R}}\frac{3\,dx}{(x+1)^2+1}=\int_{\mathbb{R}}\frac{3\,dx}{x^2+1}=3\pi$ $ y$$ \lim_{M\to +\infty}\int_{-M}^{M}\left[\frac{x+1}{(x+1)^2+1}-\frac{x}{x^2+4}\right]=0$ $ aseguran la siguiente identidad:$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x\,dx}{(x^2+2x+2)(x^2+4)} = \frac{2\pi-3\pi}{10} = \color{red}{-\frac{\pi}{10}}.$ $